단위하중법 변위

왜 배우는가: 단위하중법은 구조물의 임의 점 변위를 가상일의 원리로 구하는 기본 도구라서, 트러스·라멘·아치 등 거의 모든 구조해석 문제의 출발점이 된다. 실무에서는 처짐 검토와 부정정 해석의 검증에 쓰이며, 기술사 시험에서도 변위 계산 문제로 반복 출제된다.

출제 이력: 제131회 2교시 2번, 제96회 3교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

단위하중법은 구하려는 변위 방향에 단위하중을 가한 가상계와 실제 부재력을 이용해 가상일의 원리로 구조물의 변위를 구하는 방법이다.

• 단위하중법(Unit Load Method)
• 가상일의 원리(Principle of Virtual Work)
• 외적 가상일과 내적 가상일
• 단위하중과 평형 부재력
• 휨 변형에너지와 처짐 적분
• 트러스 부재력과 축력 적분
• 카스틸리아노 제2정리와의 관계

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 처짐을 알고 싶은 점에 "1 단위의 힘"을 가상으로 걸어 두고, 실제 하중이 만든 변형이 그 힘에 한 일을 계산하는 방법이다. 실제 하중이 만든 변형량과 가상의 단위하중이 한 일이 같다는 원리를 쓴다.

정식 정의는 다음과 같다. 실제 변형 상태가 있는 구조물의 한 점 A에서 방향 r의 변위를 구하려면, 같은 점과 방향에 단위하중 R*을 가한다. 외적 가상일은 단위하중이 실제 변위 r에 한 일, 즉 R* 곱하기 r이다. 내적 가상일은 가상 응력이 실제 변형률에 한 일이다. 두 일을 같게 놓으면 r이 구해진다.

핵심 용어는 다음과 같다.

• 단위하중: 구하려는 변위 방향으로만 작용하는 크기 1의 가상 하중이다. 단위는 구조물 해석의 힘 단위를 따른다.
• 가상 응력(평형 부재력): 단위하중과 평형을 이루는 내력 분포다. 실제 변형과 무관하게 평형만 만족하면 된다.
• 외적 가상일: 단위하중이 실제 변위 방향으로 한 일이다.
• 내적 가상일: 가상 응력이 실제 변형에 대해 한 일이다. 휨 부재라면 가상 모멘트와 실제 곡률의 곱을 전 길이에 적분한 값이다.

휨 부재의 경우 실제 곡률은 \kappa = M/EI 이므로, 처짐식은 \delta = \int \frac{m \, M}{EI} dx 로 쓴다. 여기서 m은 단위하중에 의한 가상 모멘트(N·mm 또는 kN·m), M은 실제 하중에 의한 모멘트, EI는 휨강성이다. 트러스는 축력만 있으므로 \delta = \sum \frac{n \, N L}{EA} 로 쓴다. 여기서 n은 단위하중에 의한 부재력, N은 실제 부재력, L은 부재 길이, EA는 축강성이다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물이 복잡해지면서 변위를 직접 적분식으로 푸는 방법은 계산이 어려워졌다. 탄성하중법이나 공액보법은 단순 보에는 편하지만, 트러스나 다층 라멘처럼 부재가 많은 구조에는 적용이 번거롭다. 이 때문에 에너지 원리에 바탕을 둔 일반 방법이 필요했다.

단위하중법은 가상일의 원리에서 직접 유도되므로, 구조 형식과 관계없이 같은 틀을 쓸 수 있다는 장점이 있다. 하중 조건이 달라져도 단위하중만 바꿔 다시 계산하면 되므로 반복 계산에 강하다. 부정정 구조의 변위 검토와 강성 행렬 방법의 검증에도 쓰인다.

또한 설계 기준의 처짐 제한을 확인할 때 가장 기본이 되는 계산 방법이다. 기술사 답안에서는 이 방법을 다른 변위 계산법과 비교하여 적용 범위를 설명하는 것이 중요하다.

4. 구성요소·원리·절차

단위하중법(Unit Load Method)으로 변위를 구하려면 세 가지 요소가 필요하다. 실제 하중에 의한 부재력, 구하려는 변위 방향에 재하한 단위하중에 의한 부재력, 그리고 부재의 변형 성질이다. 두 부재력 상태를 가상일의 원리로 연결하면 변위가 바로 나온다.

가상 상태의 단위하중은 단위하중(unit load) 으로 두고, 구하는 변위 방향과 같은 방향으로만 작용시킨다. 가상 상태는 평형만 만족하면 되므로 실제 변형과 무관하게 임의로 설정할 수 있다.

원리는 다음과 같다. 외적 가상일은 단위하중이 실제 변위를 통해 한 일이므로 $W_e = 1 \cdot \Delta$ 이다. 내적 가상일은 가상 부재력이 실제 변형을 통해 한 일이므로 $W_i = \sum \int \frac{m M}{EI} ds$ 이다. 가상일의 원리에서 두 일이 같으므로 변위는 다음과 같다.

$\Delta = \sum \int \frac{m M}{EI} \, ds$

여기서 \Delta는 구하는 변위(m 또는 mm), M은 실제 휨모멘트(N·m), m은 단위하중에 의한 가상 휨모멘트(무차원 길이 단위하중의 모멘트), EI는 휨강성(N·m²), ds는 부재 축 방향 길이(m)다. 축력과 전단의 영향을 함께 볼 때는 \Delta = \sum \int \frac{mM}{EI}ds + \sum \int \frac{nN}{EA}ds + \sum \int \frac{vV}{GA}ds 로 확장한다. 트러스에서는 휨항이 없으므로 \Delta = \sum \frac{n N L}{EA} 가 된다.

단위하중 1을 구하는 방향에 두는 것이 핵심이다. 가상 상태의 부재력에는 단위 크기만 곱하므로 계산이 단순해진다.

단위하중법은 가상일의 원리에서 실제 상태와 가상 상태의 내적 일을 같다고 놓아 변위를 얻는 방법이다.

단위하중법의 계산 절차는 다음과 같다.

• 실제 하중에 의한 구조물의 부재력(M, N, V)을 구한다.
• 구하려는 변위의 위치와 방향을 정하고, 그 방향으로 단위하중 1을 재하한 가상 상태를 설정한다.
• 가상 상태의 부재력(m, n, v)을 구한다.
• 각 부재의 적분 구간을 나누고 \frac{mM}{EI} 등을 구간별로 계산한다.
• 전 부재를 합산하여 변위의 부호를 판단한다. 양수면 단위하중 방향과 같은 방향의 변위다.

곡선 부재나 원형 구조물은 ds를 극좌표로 나타내 적분한다. 예를 들어 반지름 R인 원호에서 ds = R\,d\theta 로 두고, \theta 구간에 대해 적분한다. X 방향과 Y 방향 변위는 각각 X 방향, Y 방향으로 단위하중을 따로 재하해 두 번 계산한다.

도식 1 (절차 흐름)

5. 관련 법령·기준·표준

단위하중법은 구조역학의 일반 이론이므로 법령으로 정한 수치는 없다. 다만 구조설계기준의 탄성해석은 이 이론을 전제로 하며, 강구조는 KDS 14 계열, 콘크리트 구조는 KDS 14 20 계열의 해석 규정을 따른다. 설계 변위의 허용 한도는 구조물 종류와 사용성 기준에 따라 정하며, 건축구조기준에서 정한 처짐 한도를 적용한다.

강재 해석에 쓰는 기준 수치는 다음 표와 같다.

탄성계수 205000N/mm²는 구조용 강재의 일반적인 값이다. 전단탄성계수는 G = \frac{E}{2(1+\nu)} 로 구하며, 포아송비 \nu를 알아야 값을 정할 수 있다.

표의 각 항목은 해석 모델의 단위 체계와 함께 쓴다. 단위가 N과 mm로 섞이면 EI가 N·mm² 단위로 맞춰지도록 환산한다.

강재 부재의 설계 기준은 한계상태설계 원칙에 따라 사용성 검토 시 처짐 한도를 따로 확인한다. 변위 계산 결과는 이 한도와 비교해 판정한다.

6. 유형과 비교

단위하중법으로 구하는 변위는 구조형식과 하중 종류에 따라 적분항이 달라진다. 먼저 구조 유형별로 나누어 어떤 부재력이 변위에 기여하는지 정리한다.