캔틸레버보 처짐

왜 배우는가: 캔틸레버보는 발코니, 처마, 옥외 돌출부처럼 한쪽만 지지되는 부재에 쓰이며, 자유단 처짐이 커서 사용성과 마감재 손상을 좌우한다. 기술사 시험에서는 탄성곡선법으로 처짐식을 유도하는 문제와 장기처짐 검토가 함께 출제되어 원리와 계산 절차를 모두 알아야 한다.

출제 이력: 제124회 4교시 6번, 제121회 1교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

캔틸레버보 처짐은 한쪽 끝이 고정되고 다른 끝이 자유로운 보에 하중이 작용할 때, 자유단이 본래 위치에서 수직으로 이동한 변위량이다.

핵심 키워드

• 캔틸레버보(cantilever beam): 한쪽 단만 지지되는 보
• 자유단과 고정단: 자유단은 변위가 허용되고, 고정단은 변위와 회전이 모두 0이다
• 탄성곡선(elastic curve): 하중을 받은 보 축선이 이루는 곡선
• 휨강성 EI: 탄성계수와 단면2차모멘트의 곱
• 즉시처짐과 장기처짐: 재하 직후 처짐과 지속하중으로 시간에 따라 늘어난 처짐
• 유효단면2차모멘트(Ie): 균열 영향을 반영한 등가 단면2차모멘트
• 처짐 제한: 사용성 확보를 위한 허용 처짐 기준

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 한쪽만 벽에 박힌 긴 판의 끝에 무게가 실리면 끝이 아래로 휜다. 이 휨량을 계산하는 것이 캔틸레버보 처짐 해석이다.

정식 정의는 다음과 같다. 탄성곡선은 보가 탄성 범위에서 변형할 때 축선이 이루는 곡선이며, 그 미분방정식은 EI\,y''=M(x) 이다. 여기서 y는 처짐(m), M(x)는 위치 x의 휨모멘트(kN·m), EI는 휨강성(kN·m²)이다. 이 식을 두 번 적분하고 경계조건을 대입하면 처짐식이 나온다.

경계조건은 고정단에서 y=0, y'=0 이고 자유단에서는 모멘트와 전단이 0이다. 이 조건으로 적분상수를 정한다.

자유단에 집중하중 P가 작용하는 경우 M(x)=-P(L-x) 로 놓는다. 적분 후 경계조건을 대입하면 y(x)=-\dfrac{Px^2(3L-x)}{6EI} 를 얻는다. 자유단(x=L)에서는 \delta=\dfrac{PL^3}{3EI} 이다.

등분포하중 w가 작용하면 y(x)=-\dfrac{wx^2(6L^2-4Lx+x^2)}{24EI} 이고, 자유단 처짐은 \delta=\dfrac{wL^4}{8EI} 이다.

탄성곡선법의 절차는 다음과 같다.

• 자유물체도를 그리고 반력과 임의 단면의 휨모멘트 M(x) 를 구한다.
• 부호를 정하고 EI\,y''=M(x) 를 세운다.
• 한 번 적분해 기울기 y' 를, 두 번 적분해 처짐 y 를 구한다.
• 고정단 조건(y=0, y'=0)으로 적분상수를 정한다.
• 원하는 위치 또는 자유단에 대입해 값을 구한다.

실제 설계에서는 철근콘크리트 보의 휨강성을 균열 상태에 맞게 낮춰 쓴다. 균열 전 단면은 총단면2차모멘트 I_g 를, 균열이 생긴 뒤에는 Branson 식으로 계산한 유효단면2차모멘트 I_e 를 쓴다. Branson 식은 I_e=\left(\dfrac{M_{cr}}{M_a}\right)^3 I_g+\left[1-\left(\dfrac{M_{cr}}{M_a}\right)^3\right]I_{cr} 이며, 단 I_e\le I_g 로 제한한다. 여기서 M_{cr}은 균열모멘트, M_a는 사용하중에 의한 최대 휨모멘트, I_{cr}은 균열단면2차모멘트이다.

균열모멘트는 M_{cr}=f_r I_g/y_t 이고, 파괴계수는 f_r=0.63\lambda\sqrt{f_{ck}} (MPa) 로 쓴다. 경량콘크리트계수 \lambda 는 보통콘크리트에서 1.0이다.

3. 등장 배경과 필요성

철근콘크리트 캔틸레버는 처마, 발코니, 돌출 슬래브에서 흔히 쓰인다. 자유단이 지지 없이 돌출되어 있어 강성이 작고, 같은 하중에서도 단순보보다 처짐이 훨씬 크다. 처짐이 과하면 창호가 어긋나고 마감 균열, 배수 불량, 사용자 불안이 생긴다.

콘크리트는 인장 영역에 균열이 생기면 휨강성이 크게 떨어진다. 전 단면이 유효하다고 보고 계산한 처짐은 실제보다 작게 나와 위험하다. 그래서 균열 영향을 I_e 로 반영하는 것이 필요하다.

지속하중이 오래 작용하면 콘크리트의 크리프와 건조수축으로 처짐이 시간에 따라 증가한다. 이를 장기처짐이라 하며, 즉시처짐에 장기처짐 계수를 곱해 더한다. 특히 캔틸레버는 고정단 부근에 큰 모멘트가 걸리고 자유단이 크게 움직여서 장기처짐이 두드러진다.

탄성곡선법은 이러한 처짐 해석의 기본 도구다. 단순한 경계조건에서 처짐식을 유도할 수 있어, 복잡한 하중이나 변단면 보를 다룰 때도 해석의 출발점이 된다. 시험에서 처짐식 유도를 묻는 이유도 이 원리를 이해하는지 확인하기 위해서다.

이 절은 처짐의 개념과 원리를 다룬다. 기준값과 장기처짐 계수는 5절에서, 계산 예제는 8절에서 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

캔틸레버보 처짐은 탄성곡선법(Elastic curve method)이나 공액보법(Conjugate-beam method)으로 구한다. 고정단에서 처짐과 기울기가 0이므로 기준점을 고정단에 둔다. 자유단 처짐은 휨모멘트 식을 두 번 적분하여 얻는다.

자유단 처짐은 고정단 기준 곡률을 두 번 적분해 구한다

원리는 다음과 같다. 곡률은 \dfrac{1}{\rho}=\dfrac{M}{EI}이고, 근사적으로 \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{M(x)}{EI}로 쓴다. 등분포하중 w를 받는 캔틸레버에서 고정단 기준 M(x)=-\dfrac{w(L-x)^2}{2}이다. 이를 두 번 적분하면 자유단 처짐은 \delta_B=\dfrac{wL^4}{8EI}가 된다.

절차는 다음과 같다.

• 하중을 정리하고 고정단 반력 V, M_{max}를 구한다.
• 임의의 x에서 M(x)를 쓴다.
• 곡률식 EI\,y''=M(x)를 세운다.
• 한 번 적분하여 기울기 \theta(x)를, 두 번 적분하여 처짐 y(x)를 구한다.
• 고정단 조건 y(0)=0, \theta(0)=0으로 적분상수를 정한다.
• 자유단 x=L을 대입하여 최대 처짐을 구한다.

공액보법에서는 M/EI도를 하중으로 한 공액보를 만든다. 캔틸레버의 공액보는 자유단이 고정단이 되는 고정지지 보이므로, 자유단 처짐은 공액보의 고정단 모멘트로 얻는다. 이때 유효단면2차모멘트(Effective moment of inertia I_e)를 사용하면 균열 영향이 반영된다.

5. 관련 법령·기준·표준

캔틸레버보 처짐의 검토 기준은 「콘크리트구조 설계기준」(KDS 14 20 00 계열)의 사용성 규정에 따른다. 이 기준은 처짐을 즉시처짐과 장기처짐으로 나누어 검토한다. 장기처짐은 지속하중에 의한 크리프와 건조수축의 영향을 포함한다.

재하기간 5년 이상 시 시간계수는 기준이 정한 값을 적용

계수 \xi는 재하기간에 따라 달라진다. 5년 이상 지속 하중에서는 기준이 정한 \xi 값을 적용하는 것이 일반적인 설계 관행이다. 장기처짐 계수 \lambda_\Delta는 압축철근비 \rho'가 클수록 작아진다. 캔틸레버보는 인장측 균열이 자유단 방향으로 넓게 발생하므로 전 구간에 같은 I_e를 쓰는 가정이 보수적이다.

경량콘크리트계수 \lambda는 1.0으로 주어질 때 보통콘크리트와 같이 계산한다. 탄성계수 E_c와 철근 탄성계수 E_s의 비 n은 실무에서 근사값을 쓸 수 있다.

개정 연혁으로는 종전 콘크리트 구조 설계기준의 처짐 규정이 현행 KDS 체계로 옮겨졌다. 기준 번호는 확인이 필요하므로 이름만 사용한다.

6. 유형과 비교

캔틸레버보는 지지 조건과 하중 형태에 따라 처짐식이 달라진다. 같은 경간이라도 자유단 집중하중, 등분포하중, 자유단 모멘트에 따라 최대 처짐과 처짐 형상이 크게 다르므로 하중 유형별로 정리해 두면 답안 작성 시 혼동을 줄일 수 있다.