형상계수

왜 배우는가: 형상계수는 같은 단면적이라도 단면 모양에 따라 휨 강도 여유가 달라짐을 보여 주는 값이다. 건축구조 설계에서 소성설계와 극한해석의 출발점이며, 소성힌지 모멘트를 구하는 문제로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제120회 4교시 1번, 제111회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의는 다음과 같다.

형상계수는 소성단면계수와 탄성단면계수의 비로, 단면이 항복 이후 가질 수 있는 여유 휨강도의 크기를 나타낸다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 형상계수(Shape Factor)
• 탄성단면계수(Elastic Section Modulus, S)
• 소성단면계수(Plastic Section Modulus, Z)
• 소성모멘트(Plastic Moment, M_p)
• 완전소성 상태
• 소성중립축
• 소성힌지

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 형상계수는 "같은 재료, 같은 단면적에서 단면 모양이 휨에 얼마나 유리한가"를 재는 값이다. 재료가 항복한 뒤에도 단면이 더 버틸 수 있는 여유를 한 숫자로 표현한다.

정식 정의는 다음과 같다. 형상계수 f는 소성단면계수 Z를 탄성단면계수 S로 나눈 값이며 무차원이다.

$f = \frac{Z}{S}$

여기서 S는 탄성 범위에서 단면 가장자리 응력이 항복응력 \sigma_y에 도달할 때의 모멘트 M_y = \sigma_y S를 정하는 값이고, Z는 단면 전체가 항복했을 때의 모멘트 M_p = \sigma_y Z를 정하는 값이다. 따라서 형상계수는 두 모멘트의 비 M_p/M_y와 같다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

탄성단면계수는 단면 2차모멘트 I를 도심에서 가장 먼 섬유까지 거리 y로 나눈 값 S = I/y이다. 단면계수는 단면의 가장자리 응력을 계산하는 값이다.

소성단면계수는 단면이 완전히 항복했을 때, 소성중립축 상하 단면적의 중립축 정적모멘트 합으로 정한다. 탄성단면계수와 달리 중립축이 단면적을 반으로 나누는 위치에 놓인다.

소성모멘트는 단면 전체가 항복한 상태의 저항모멘트이다. 골조 극한해석에서 소성힌지가 버틸 수 있는 모멘트 크기를 정한다.

직사각형 단면의 값은 답안에서 자주 쓰므로 먼저 확인한다. 폭 b, 높이 h인 직사각형에서 S = bh^2/6이고 Z = bh^2/4이므로 형상계수는 다음과 같다.

$f = \frac{bh^2/4}{bh^2/6} = 1.5$

3. 등장 배경과 필요성

허용응력설계는 단면의 가장자리 응력이 항복응력에 도달하면 설계 한계에 도달한 것으로 본다. 그러나 실제 구조물은 가장자리 일부만 항복해도 바로 붕괴하지 않는다. 항복 이후 단면 안쪽이 점차 항복하면서 모멘트가 더 증가할 수 있다.

이 여유를 정량화하려고 소성설계가 도입되었다. 소성설계에서는 단면이 완전히 항복했을 때의 모멘트 M_p를 기준으로 삼는다. 이때 탄성 기준의 M_y와 M_p의 차이를 설명하는 값이 형상계수다.

형상계수가 큰 단면은 재료가 중립축 근처에 모여 있는 모양이다. 원형이나 마름모 단면이 여기에 해당한다. 반대로 재료가 플랜지에 몰린 I형강은 형상계수가 작다. 같은 중량이라도 형상계수가 큰 단면은 소성 상태에서 더 큰 모멘트를 전달한다.

강구조 설계에서 형상계수는 소성힌지가 형성된 뒤 골조가 붕괴기구에 이르는 하중을 구하는 데 쓰인다. 따라서 형상계수는 단면 선택과 극한하중 계산을 잇는 연결 고리 역할을 한다.

4. 구성요소·원리·절차

형상계수는 단면의 탄성단면계수(Elastic Section Modulus) Z와 소성단면계수(Plastic Section Modulus) Z_p의 비로 정의된다. 두 값의 차이는 단면의 어느 부분까지 항복에 참여하는지에서 나온다. 탄성 상태에서는 가장 바깥 섬유의 응력이 항복응력에 도달하면 휨 저항이 멈추지만, 소성 상태에서는 단면 전체가 항복응력에 도달하여 모멘트가 더 커질 수 있다.

$\alpha = \frac{Z_p}{Z}$

• \alpha: 형상계수(무차원), Z_p: 소성단면계수(mm³), Z: 탄성단면계수(mm³)

위 표는 탄성 모멘트와 소성 모멘트를 같은 항복응력으로 비교한 것이다. 두 값의 비가 곧 형상계수가 된다.

소성단면계수는 소성중립축 위와 아래 단면적의 중립축 줄 일차모멘트의 합으로 구한다. 소성중립축은 단면적을 이등분하는 축이므로, 대칭 단면에서는 도심축과 일치하고 비대칭 단면에서는 도심축과 다르다. 원리는 다음과 같다. 단면이 완전 항복하면 인장 영역은 +\sigma_y, 압축 영역은 -\sigma_y의 일정 응력을 받는다. 두 영역의 합력이 같아야 하므로 중립축은 면적을 이등분한다. 그 결과 모멘트는 두 합력의 우력으로 나타난다.

• 직사각형 단면: Z_p = \dfrac{bh^2}{4}, Z = \dfrac{bh^2}{6}
• 따라서 \alpha = \dfrac{Z_p}{Z} = \dfrac{bh^2/4}{bh^2/6} = 1.5
• 원형 단면: Z_p = \dfrac{d^3}{6}, Z = \dfrac{\pi d^3}{32}, \alpha는 장방형보다 큰 값이다
• H형강·I형강은 플랜지에 면적이 몰려 있어 형상계수가 장방형보다 작다.

소성힌지 영역의 판단에도 같은 원리가 쓰인다. 단면이 완전 항복하면 모멘트는 M_p = \alpha M_y이다. 따라서 형상계수가 클수록 같은 단면에서 소성 저항 여유가 크다.

절차(단면 형상계수 산정)

• 단면의 도심축과 면적을 구한다.
• 면적을 이등분하는 소성중립축 위치를 구한다(상·하 단면적이 같아지는 위치).
• 소성중립축 위·아래 면적을 각각 그 축에 대한 일차모멘트로 계산하고 합한다. 이 합이 Z_p이다.
• 도심축에 대한 단면2차모멘트 I를 구하고 Z = I/y_{max}로 탄성단면계수를 구한다.
• \alpha = Z_p/Z를 계산하고 결과가 1.0 이상인지 확인한다.

도식

5. 관련 법령·기준·표준

형상계수 자체를 규정하는 법령은 없다. 구조설계에서는 강구조 설계기준과 소성설계법의 규정에서 소성단면계수와 형상계수를 사용한다. 설계기준의 세부 조항 번호는 여기서 쓰지 않고 기준 이름만 쓴다.

위 표의 수치는 단면 형상에서 바로 계산되는 값이다. 강재 규격의 항복응력이나 설계강도는 강재 규격과 설계기준 연도에 따라 다르므로 그 값은 해당 설계기준에서 확인한다. 강재 표준의 소성단면계수 값은 압연 강재 제원표에 함께 실려 있다.

개정 연혁: 강구조 설계기준은 허용응력설계에서 한계상태설계로 바뀌는 과정에서 소성설계 규정의 적용 범위가 조정되었다. 형상계수의 정의 자체는 바뀌지 않았다.

6. 유형과 비교

형상계수는 단면 형상에 따라 값이 달라지므로, 대표 단면별로 비교해 두면 소성 여력의 차이를 한눈에 파악할 수 있다. 같은 항복응력이라도 단면이 1.5 근처인지, 1.0에 가까운지에 따라 소성힌지 형성 후의 여유 강도가 크게 달라진다.