모멘트분배법

왜 배우는가: 모멘트분배법은 처짐각법을 수계산에 맞게 바꾼 해법으로, 부정정 보와 골조의 부재력을 손으로 구하는 가장 기본적인 방법이다. 컴퓨터 해석이 보편화된 뒤에도 해석 결과를 검증하고 구조 거동을 직관적으로 이해하는 데 쓰이므로 실무 기초가 된다. 건축구조기술사 시험에서도 연속보와 라멘의 휨모멘트도 문제로 여러 교시에 걸쳐 반복 출제된다.

출제 이력: 제125회 1교시 8번, 제123회 3교시 2번, 제122회 4교시 2번, 제121회 3교시 6번, 제98회 2교시 3번, 제95회 4교시 5번, 제89회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

모멘트분배법은 절점의 불균형 모멘트를 강비에 따라 부재단에 분배하고 전달모멘트로 반복 수렴시켜 부정정 보·골조의 부재단 모멘트를 구하는 근사 해석법이다.

핵심 키워드

• 모멘트분배법(Moment Distribution Method)
• 고정단모멘트(Fixed End Moment, FEM)
• 불균형모멘트(Unbalanced Moment)
• 분배율(Distribution Factor)
• 전달율(Carry-over Factor)
• 강비(Relative Stiffness, k = I/L)
• 부재단 강성(Member End Stiffness)
• 수렴(Convergence)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 모든 절점을 일단 회전하지 못하게 잡아 두고(고정) 각 부재의 고정단모멘트를 구한 뒤, 절점을 풀어 놓았을 때 생기는 불균형을 부재에 나누어 주고 그 값을 맞은편 단으로 넘기기를 반복하는 방법이다. 절점이 한 번 풀릴 때마다 모멘트가 조금씩 정리되므로, 전달되는 값이 충분히 작아질 때까지 계산을 되풀이한다.

정식으로 정의하면, 모멘트분배법은 처짐각법에서 절점 회전각을 미지수로 두는 대신 부재단모멘트를 미지수로 삼아 절점의 모멘트 평형식을 반복 계산으로 푸는 방법이다. 그래서 연립방정식을 직접 풀지 않고 근사해를 얻는다. 한국어 위키백과도 이를 가우스-사이델(Gauss-Seidel) 같은 반복법에 해당하는 계산 절차로 설명한다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

고정단모멘트는 모든 절점을 회전하지 못하게 잡았을 때 하중에 의해 부재 양단에 생기는 모멘트다. 등분포하중 \omega가 작용하는 길이 L의 양단 고정보에서는 M_F=\omega L^2/12가 된다.

분배율은 한 절점에 모인 부재들이 불균형모멘트를 나누어 받는 비율이다. 부재 강성에 비례하며, 절점 주위 강비의 합으로 나눈 값이다.

전달율은 한 단에 모멘트가 작용할 때 반대편 고정단에 전달되는 모멘트의 비다. 양단 고정, 타단 고정인 부재는 전달율이 1/2이다. 한쪽이 힌지나 롤러이면 전달이 없어 0이다.

3. 등장 배경과 필요성

1930년대 이전에는 부정정 구조물의 해석에 처짐각법이나 3연모멘트법 같은 연립방정식이 쓰였다. 골조의 절점이 많아지면 미지수가 늘어나 손계산이 어려웠다. 하디 크로스(Hardy Cross)는 1930년 미국토목학회지(ASCE)에 이 방법을 발표했다. 발표 후 1930년대부터 컴퓨터가 설계 실무에 보급되기 전까지 가장 널리 쓰인 구조해석법이 되었다.