라멘 붕괴기구 및 극한하중

왜 배우는가: 라멘은 보와 기둥이 강접합된 골조로, 고층 건축과 넓은 공간을 만드는 데 널리 쓰인다. 소성설계에서는 골조가 붕괴기구에 도달하는 하중을 직접 구하므로, 붕괴기구의 판별과 극한하중 계산이 논술형과 계산형 문제에 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제138회 4교시 1번, 제129회 3교시 3번, 제110회 2교시 1번, 제109회 4교시 4번, 제95회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

라멘의 극한하중은 골조에 필요한 수의 소성힌지가 생겨 붕괴기구가 형성되는 순간의 하중이다.

핵심 키워드

• 소성힌지: 단면 전체가 항복하여 모멘트가 소성모멘트에 도달한 점이며, 이 점에서 회전이 자유롭게 일어난다.
• 붕괴기구: 소성힌지가 충분히 생겨 구조물이 더 버티지 못하고 계속 변형할 수 있게 된 형태다.
• 극한하중: 붕괴기구가 형성되는 하중으로, 소성붕괴하중이라고도 한다.
• 소성모멘트: 완전히 항복한 단면이 가지는 저항모멘트다.
• 상계정리와 하계정리: 붕괴하중의 상한과 하한을 각각 정하는 두 가지 정리다.
• 부정정차수: 붕괴기구를 만들기 위해 필요한 소성힌지 수를 정하는 기준이다.
• 보 붕괴·기둥 붕괴·복합 붕괴: 소성힌지가 생기는 위치에 따른 붕괴기구의 분류다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 라멘이 관절처럼 꺾여 더 버티지 못하는 순간의 하중이다. 탄성 상태에서는 부재가 하중에 비례해 변형하지만, 하중이 커지면 모멘트가 가장 큰 단면부터 항복한다. 항복한 단면은 모멘트가 더 늘지 않고 회전만 커지며, 이 점이 소성힌지다.

정식 정의는 다음과 같다. 극한하중은 완전소성 거동을 가정한 골조에서 소성힌지가 붕괴기구를 이루는 하중이며, 소성설계법은 이 하중을 구해 설계하중과 비교해 안전성을 검정한다.

소성힌지의 저항모멘트는 소성모멘트로 정해진다. 소성모멘트는 소성단면계수와 항복응력의 곱으로 구하며, 기호는 M_p = Z F_y 이다. 여기서 M_p는 소성모멘트(N·mm), Z는 소성단면계수(mm³), F_y는 항복응력(MPa)이다. 소성단면계수는 중립축 상하 단면적이 중립축에 대해 갖는 1차 모멘트의 합이다. 같은 높이의 단면이라도 형상에 따라 탄성 단면계수와 소성 단면계수의 비가 달라지며, 이 비를 형상계수라고 한다.

골조가 붕괴기구에 이르는 조건은 가상일의 원리로 표현한다. 붕괴기구가 미소하게 변위할 때 외력이 하는 일은 하중과 변위의 곱의 합이고, 내부 소성일은 각 힌지의 소성모멘트와 힌지 회전각의 곱의 합이다. 두 값을 같게 놓으면 붕괴하중이 나온다.

정정 보는 힌지 1개가 생기면 기구가 되지만, 부정정 골조는 부정정차수가 하나 늘 때마다 힌지가 하나 더 필요하다. 따라서 부정정차수가 r인 골조의 붕괴기구에는 부정정차수 + 1개 의 소성힌지가 필요하다.

붕괴하중의 해석에는 두 정리가 쓰인다. 상계정리는 임의의 붕괴기구에 대해 내부일과 외부일을 같게 놓아 얻은 하중이 실제 붕괴하중보다 크거나 같다는 정리다. 하계정리는 모든 단면의 모멘트가 소성모멘트를 넘지 않는 평형상태의 하중이 붕괴하중보다 작거나 같다는 정리다. 두 정리로 구한 값이 일치하면 그 값이 극한하중이다.

붕괴기구의 형태는 힌지가 생기는 위치로 나눈다. 보 붕괴는 보의 양단과 중앙에만 힌지가 생기는 형태다. 기둥 붕괴(층 횡변위 기구)는 기둥의 상하단에 힌지가 생겨 층 전체가 수평으로 이동하는 형태다. 복합 붕괴는 보와 기둥에 힌지가 함께 생기는 형태로, 실제 골조의 붕괴는 대부분 이 형태이거나 가장 작은 하중을 주는 기구가 붕괴기구가 된다.