기둥 장주효과 확대계수

왜 배우는가: 기둥이 길고 가늘면 축하중 때문에 부재가 휘어 추가 휨모멘트가 생기고, 이를 무시하면 기둥이 설계 하중 이전에 횡으로 불안정해질 수 있다. 이 개념은 1차 해석 결과를 확대하는 방식으로 설계에 반영하는 핵심 원리라서 구조기술사 시험에서 계산 문항과 개념 문항으로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제129회 3교시 2번, 제90회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

장주효과는 기둥의 세장비가 커서 축력에 의한 부재 횡변위가 추가 휨모멘트를 만드는 현상이며, 확대계수 δ를 곱해 설계 휨모멘트를 구한다.

장주효과는 축력과 횡변위에 의한 2차 모멘트를 확대계수로 반영하는 현상이다

• 장주효과
• 모멘트 확대계수
• 세장비
• 좌굴하중
• 횡구속 골조
• 비횡구속 골조
• 층안정지수

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 기둥이 가늘고 길수록 위에서 누르는 힘이 기둥을 조금씩 휘게 하고, 그 휨이 다시 하중의 편심을 키운다. 이 되먹임이 장주효과다. 1차 탄성해석은 변형 전 형상에서 힘을 구하므로 이 2차 효과를 빠뜨린다. 그래서 설계에서는 1차 해석 모멘트 M_1에 확대계수를 곱해 M_c = δ·M_2 로 보정한다.

정식 정의는 다음과 같다. 장주효과는 축압축력 P_u 가 부재의 횡변위 Δ와 곱해져 생기는 2차 휨모멘트 P_u·Δ 를 말하며, 이를 확대계수로 근사한다. 여기서 횡구속(braced) 골조는 전단벽이나 가새가 층의 횡이동을 막아 부재 자체의 중간부 휨만 확대하면 되는 골조다. 반대로 비횡구속(unbraced, sway) 골조는 층 전체가 옆으로 이동할 수 있어 층 단위의 확대계수 δ_s 를 함께 본다.

확대계수의 기본식은 다음과 같다.

$\delta_{ns}=\frac{C_m}{1-\dfrac{P_u}{0.75\,P_c}}\ge 1.0$

여기서 δ_ns 는 횡구속 부재의 확대계수, C_m 은 단부 모멘트비에 따른 등가 모멘트 계수, P_u 는 계수 축력(N), P_c 는 임계 좌굴하중(N)이다. 임계 좌굴하중은 다음과 같다.

$P_c=\frac{\pi^2 EI}{(k\,l_u)^2}$

여기서 E 는 콘크리트 탄성계수(MPa), I 는 단면 2차모멘트(mm⁴), k 는 유효길이계수, l_u 는 비지지 길이(mm)다. EI 는 균열과 크리프를 고려한 감소 강성을 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

기둥 설계에서 초기에는 기둥을 짧은 압축부재로 보고 단면 검토만 했다. 그러나 콘크리트 골조가 높아지고 부재 세장비가 커지면서, 축력이 크고 기둥이 가는 경우 횡변위에 의한 추가 모멘트가 무시할 수 없는 크기가 되었다. 이 때문에 장주효과를 별도로 정량화할 필요가 생겼다.

좌굴 이론은 오일러가 정립한 임계하중 개념에서 출발한다. 이 개념이 콘크리트 기둥에 적용되면서 실제 기둥의 균열, 철근 배치, 크리프에 따른 강성 저하를 보정하는 확대계수법이 도입되었다. 현행 콘크리트 구조 설계기준도 이 확대계수법을 기본으로 한다.

장주효과가 중요한 이유는 골조 전체의 안정성과 직결되기 때문이다. 기둥 하나의 단면 검토에서 끝나지 않고, 골조의 횡이동 여부를 판정해 어떤 확대계수를 쓸지 결정해야 한다. 따라서 세장비 판정, 횡구속 여부 판정, 확대계수 산정의 순서로 설계가 이어진다.

현행 설계는 1차 탄성해석을 기본으로 하고, 확대계수로 2차 효과를 근사하는 방식을 쓴다. 이를 이해하면 기둥 검토, 골조 횡안정 검토, 층안정지수 판정 문항을 같은 원리로 풀 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

장주효과는 기둥이 축력을 받을 때 부재 중앙의 횡변위 \delta가 생겨 모멘트가 더 커지는 현상이다. 설계에서는 이 추가 모멘트를 모멘트 확대계수로 반영한다. 구성요소는 아래 표와 같다.

원리는 다음과 같다. 1계 탄성해석으로 구한 단부 모멘트를 확대해 설계 모멘트로 쓴다. 축력이 커져 P_u가 P_c에 가까워질수록 확대계수는 커진다. 축력이 탄성좌굴하중의 일부를 넘으면 확대계수가 발산하므로 기둥의 횡안정성을 검토해야 한다.

횡구속 골조에서 기둥 설계 모멘트는 다음과 같이 계산한다.

$M_c = \delta_{ns}\,M_{2}$

여기서 M_2는 1계 해석으로 구한 기둥 단부의 큰 모멘트다. 확대계수는 다음 식으로 구한다.

$\delta_{ns}=\frac{C_m}{1-\dfrac{P_u}{0.75\,P_c}}\ge 1.0$

기둥 강성 EI는 장주 해석용 값을 쓴다. 콘크리트 균열을 반영해 0.4E_cI_g/(1+β_d) 를 쓰는 것이 일반적이며, 문제에서 강성을 정하면 그 값을 그대로 쓴다. 여기서 \beta_d는 지속하중에 의한 축력 비율이다. 탄성좌굴하중 P_c에서 k는 유효좌굴길이계수, l_u는 비지지 길이다.

절차는 다음과 같다.

• 1계 탄성해석으로 각 하중조합의 기둥 축력 P_u와 단부 모멘트를 구한다.
• 층별로 횡구속 여부를 판정하고 층안정지수 Q를 구한다.
• 강성 EI와 유효좌굴길이 k\,l_u를 정해 P_c를 구한다.
• 단부 모멘트비로 C_m을 구한다.
• 비횡구속 기둥은 \delta_{ns}, 횡구속 골조의 횡변위 성분은 \delta_s로 확대한다.
• 설계 모멘트를 합산해 단면 검토에 쓴다.

층안정지수는 다음 식으로 구한다.

$Q=\frac{\sum P_u\,\Delta_o}{V_u\,l_c}$

\Delta_o는 층간 1차 상대변위, V_u는 층 전단력, l_c는 기둥 층높이다. 횡구속 판정은 Q가 작을 때 이루어진다.

장주효과는 축력과 강성, 좌굴길이로 결정되는 확대계수로 반영한다

흐름도로 보면 다음과 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

장주효과 검토는 「건축구조기준」과 콘크리트구조 설계기준(KDS 41 20 00)에 따른다. 확대휨모멘트에 대한 일반사항은 기준의 해석·설계 조항에 규정되어 있다. 시행 체계는 현행 건축구조기준 체계로 정리되었고, 기준값은 아래 표와 같다.

표의 값은 횡구속과 비횡구속 판정, 단부 모멘트비에 따라 달라진다. 횡구속 골조에서는 C_m과 \delta_{ns}를 쓰고, 비횡구속 골조에서는 \delta_s와 \delta_{ns}를 함께 쓴다. 기둥의 유효좌굴길이계수 k는 골조 형식에 따라 달라지므로 강성비로 구한다.

기준 개정 연혁은 다음과 같이 정리한다. 콘크리트 기준은 기존 설계기준에서 구조기준 체계로 옮겨졌다. 개정 때마다 강성 저감식과 C_m 규정이 조정되었다. 실무에서는 현행 KDS 기준 조항을 기준으로 삼는다.

횡구속 판정 기준과 C_m 식은 기준 조문을 그대로 옮긴 것이다. 강도감소계수 값은 설계 조건에 따라 적용한다. 단부 모멘트비가 음수이면 이중곡률이므로 C_m 계산에 부호를 반영한다.

계산 예제는 이 절 이후 해설에서 다룬다. 이 절에서는 기준값과 식의 적용 범围를 익히는 것이 핵심이다.

6. 유형과 비교

장주효과 해석법은 골조의 횡변위 허용 여부와 기둥 세장비에 따라 나뉜다. 횡구속 골조와 비횡구속 골조는 모멘트 확대 방식이 다르므로 먼저 구분해야 한다.