유효좌굴길이계수 강성 보정계수

왜 배우는가: 기둥의 좌굴강도는 유효좌굴길이 KL로 결정되므로 K를 정확히 구하는 것이 압축재 설계의 출발점이다. 계도표로 K를 구할 때 보의 강성을 어떻게 보정하는지는 강구조 기술사 시험에서 반복해서 묻는 원리 문항이다.

출제 이력: 제137회 2교시 5번, 제108회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 유효좌굴길이 KL은 기둥 실제 길이 L에 경계조건을 반영한 계수 K를 곱한 값이다.

핵심 키워드

• 유효좌굴길이계수(Effective Length Factor, K): 기둥 단부 구속 조건에 따른 좌굴길이 배수
• 좌굴길이 계도표(Alignment Chart): 기둥 양단의 강비 G로 K를 읽는 도표
• 강비 G: 기둥 강성의 합을 보 강성의 합으로 나눈 값
• 강성 보정계수: 보의 타단 조건에 따라 보 강성 EI/L에 곱하는 배수
• 횡구속(braced frame): 층간 횡변위가 막힌 골조
• 비횡구속(unbraced frame): 층간 횡변위가 허용된 골조
• 처짐각법(Slope-Deflection Method): 절점 회전각으로 부재단 모멘트를 구하는 해석법

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 기둥이 얼마나 쉽게 휘어 무너지는지를 길이로 바꾼 값이다. 양단이 단단히 잡혀 있으면 짧아지고, 자유로우면 길어진다. K가 1.0이면 양단 핀과 같은 기둥이며, 이때 좌굴길이는 실제 길이와 같다.

정식 정의는 다음과 같다. 탄성 좌굴하중은 P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} 로 주어지며, 여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 좌굴축 단면2차모멘트(mm⁴), L은 부재 실제 길이(mm), K는 유효좌굴길이계수다. K는 부재 양단의 회전 구속과 횡변위 구속 정도에 따라 정해진다.

기둥 양단의 구속 정도는 강비 G로 나타낸다. 기둥 단부 강성의 합을 보 강성의 합으로 나눈 값이 G다. 계도표는 이 G로 K를 읽는다. 그런데 계도표의 보 강성은 보 타단이 고정이라는 가정으로 만들어졌다. 보 타단이 힌지나 고정이 아니면 실제 보의 회전 저항이 달라지므로, 보 강성에 보정계수를 곱해 같은 기준으로 맞춘다.

보정계수가 곱해지는 값은 보의 강성 EI_g/L_g다. 보정계수는 횡변위 구속 여부에 따라 다르다. 횡구속 골조는 보 타단 조건에 따라 보 강성을 할증한다. 비횡구속 골조는 타단 힌지 0.50, 타단 고정 0.67을 곱한다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 강구조 설계는 기둥을 양단 핀으로 보고 K=1.0을 쓰는 경우가 많았다. 하지만 실제 골조에서는 보와 기둥이 강접합되어 기둥 단부가 어느 정도 회전이 구속된다. 이 차이를 반영하지 않으면 기둥 좌굴강도를 과소 또는 과대 평가하게 된다.

그래서 1960년대 이후 계도표 방식이 정리되었다. 계도표는 G 값만 알면 K를 읽을 수 있어 설계 현장에서 간편하다. 다만 보의 타단 조건이 계도표 가정과 다르면 G를 그대로 쓸 수 없다. 이때 보 강성 보정이 필요해진다.

보정이 필요한 이유는 보 강성 식이 타단 조건에 따라 달라지기 때문이다. 양단 고정 보의 회전강성은 4EI/L이고, 타단이 힌지이면 3EI/L이다. 같은 보라도 타단 조건에 따라 기둥 절점에 주는 회전 저항이 25% 줄어든다. 계도표 기준과 맞추려면 이 차이를 보정계수로 흡수해야 한다.

횡구속 골조와 비횡구속 골조는 좌굴 모드가 다르다. 횡구속 골조는 층간 변위가 없고 절점이 반대 방향으로 회전하는 모드가 지배한다. 비횡구속 골조는 층간 변위를 동반한 모드가 지배한다. 두 경우 보의 회전 기여가 달라서 보정계수 값도 달라진다. 답안에서는 두 경우를 나누어 쓰는 것이 기본이다.

이 원리는 처짐각법 식으로 설명하면 명확해진다. 보 타단 조건에 따라 절점 회전 저항 계수가 바뀌고, 그 값이 계도표의 G 계산에 들어간다. 따라서 보정계수는 경험적 숫자가 아니라 처짐각방정식에서 나온 결과다.

4. 구성요소·원리·절차

유효좌굴길이계수(Effective Length Factor, K)는 기둥의 양단 구속 조건을 좌굴길이로 환산한 계수다. 유효좌굴길이 KL은 좌굴길이 계산도표(Alignment Chart)에서 기둥 양단의 강비 G를 구해 읽는다. 강비 G는 기둥의 강성 대비 보의 강성 합으로 정의하며, 보의 강성은 강성 보정계수를 곱한 값으로 적용한다.

강비 계산에 쓰는 구성요소는 다음과 같다.

강성 보정계수는 처짐각법에서 유도된다. 부재 AB의 A단에 모멘트 M_{AB}가 작용하고 B단이 힌지인 경우, 처짐각 방정식은 다음과 같다.

$M_{AB}=\frac{2EI}{L}(2\theta_A+\theta_B-3\psi)+FEM_{AB}$

여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 단면2차모멘트(mm⁴), L은 부재 길이(mm), \theta는 절점 회전각(rad), \psi는 부재 현회전각(rad, 횡변위 \Delta/L), FEM은 고정단 모멘트(N·mm)이다.

타단 B가 힌지이면 M_{BA}=0 조건을 쓴다. 이 조건으로 \theta_B를 소거하면 A단 모멘트는 M_{AB}=\frac{3EI}{L}(\theta_A-\psi) 형태가 된다. 즉 타단 힌지 부재의 A단 강성은 3EI/L이다. 기본식 4EI/L과 비교하면 강성이 3/4로 줄어든다. 따라서 보의 강성을 \frac{EI_g}{L_g}로 두고 계수 \frac{3}{4}를 곱해 \frac{3}{4}\cdot\frac{4EI_g}{L_g} 대신 강비에서 보의 강성을 \frac{3}{4}배로 하는 것이 아니라, 강비 계산에서 보의 강성을 역으로 할증하여 \frac{EI_g}{L_g}에 할증 계수를 곱한다(강성이 \frac{2}{3}로 줄어든 만큼의 역수다).

강비 계산 절차는 다음과 같다.

• 각 절점에서 연결된 기둥의 강성 합 \sum (EI_c/L_c)를 구한다.
• 같은 절점의 보 강성 합 \sum (EI_g/L_g)를 구하고, 보의 타단 조건에 따라 보정계수를 곱한다.
• 강비 G = \sum(EI_c/L_c) / \sum(\alpha EI_g/L_g)를 양단에서 각각 구한다.
• 좌굴길이 계산도표에서 양단 G_A, G_B를 잇는 선을 그어 K를 읽는다.
• 유효좌굴길이 KL을 구하고 세장비 KL/r로 압축강도를 판정한다.

타단 조건에 따라 보의 강성을 보정해야 강비가 맞다

횡구속 골조 보정계수는 타단 조건에 따라 할증 계수로 적용한다

5. 관련 법령·기준·표준

강구조 압축재 설계에서 유효좌굴길이계수는 설계기준의 좌굴길이 계산도표를 따른다. 국내 강구조 설계기준은 KDS 14 31 10(강구조 부재 설계기준, 한계상태설계법)이며, 압축재 휨좌굴강도는 탄성 휨좌굴강도 F_e 식에 유효좌굴길이를 대입해 구한다. 참고로 옛 명칭은 강구조 설계기준 구판이다.

다음 표는 강성 보정계수와 좌굴길이 계산도표 적용 조건을 정리한 것이다.

표의 값은 횡구속 골조는 할증, 횡비구속 골조는 감소(0.5, 0.67배)로 적용한다. 횡비구속 골조의 값은 보 강성을 줄여 강비를 키우는 방향이다. 이 표의 값은 처짐각법 식에서 직접 유도되므로 별도 암기보다 유도 과정을 함께 답안에 적는다.

좌굴 강도 판정에는 탄성 휨좌굴강도 F_e를 쓴다. 식은 다음과 같다.

$F_e=\frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2}$

여기서 E는 탄성계수(MPa), K는 유효좌굴길이계수, L은 부재 길이(mm), r은 좌굴축에 대한 단면2차반경(mm)이다. 세장비 KL/r이 커지면 F_e가 작아져 압축강도가 감소한다.