트러스 최초항복 및 붕괴하중

왜 배우는가: 트러스는 부재가 축력만 받는 구조라 재료를 효율적으로 쓰는 대표 구조형식이다. 트러스의 최초 항복하중과 붕괴하중은 부재 항복 순서와 부정정 차수에 따라 달라지므로 구조 안전성 평가의 기본이 된다. 기술사 시험에서는 구조물의 최대하중과 변위를 단계별로 구하는 문제로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제130회 2교시 5번, 제95회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

트러스 최초항복 및 붕괴하중은 부재가 차례로 항복하고 구조물이 붕괴 기구를 이루는 하중을 부재력과 변형 관계로 구하는 해석이다.

• 트러스(Truss)
• 최초항복하중(First Yield Load)
• 붕괴하중(Collapse Load)
• 부재 항복강도(Yield Strength)
• 하중-처짐 관계(Load-Deflection Relation)
• 정정·부정정 트러스
• 부재력 비례 관계
• 가상일의 원리

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 트러스에 하중을 점점 키울 때, 어느 부재가 먼저 항복하고 그다음 어느 시점에 구조 전체가 무너지는지를 계산하는 것이다. 트러스의 각 부재는 연결된 두 절점 사이에서 축방향력만 받는다고 가정하므로, 부재력은 절점의 힘 평형식으로 구한다. 부재력이 항복강도에 도달하면 그 부재가 먼저 항복한다.

트러스는 직선 부재를 삼각형 형태로 연결한 구조체다. 부재는 양 끝이 핀으로 연결되어 휨과 전단이 이론적으로 생기지 않고, 절점에 작용한 하중이 부재의 인장 또는 압축으로 전달된다. 부재 수 m과 절점 수 j 사이에 m = 2j - 3 이 성립하면 완전 트러스(perfect truss)다.

최초항복하중은 여러 부재 중 하나가 처음으로 항복강도에 도달할 때의 외부 하중이다. 이 하중을 구하려면 각 부재의 부재력을 외력 P에 대한 비례 계수로 나타내고, 부재력 절댓값이 가장 먼저 항복강도에 도달하는 부재를 찾는다.

붕괴하중은 구조물이 더 이상 하중을 받지 못하고 큰 변위가 생기는 하중이다. 정정 트러스에서는 한 부재가 항복하면 곧 붕괴가 일어나므로 최초항복하중과 붕괴하중이 같다. 부정정 트러스에서는 일부 부재가 항복한 뒤에도 나머지 부재가 저항하므로 붕괴하중이 최초항복하중보다 크다.

항복강도는 재료가 탄성 거동에서 소성 거동으로 넘어가는 응력이다. 항복 이하에서는 응력이 제거되면 원래 모양으로 돌아가고, 항복 이후에는 일부 변형이 영구적으로 남는다. 트러스 해석에서는 항복 이후 부재가 일정한 힘을 유지하는 완전 소성 거동을 가정하는 경우가 많다.

하중-처짐 관계는 하중 P와 특정 절점의 수직 변위 δ 사이의 관계를 그린 곡선이다. 최초 항복 전에는 직선이고, 부재가 하나씩 항복하면서 기울기가 낮아지며, 붕괴 시 기울기가 0이 된다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물 설계는 초기에는 탄성 해석에 따라 응력이 허용응력 이하가 되도록 했다. 그러나 탄성 해석은 구조물이 실제로 무너지는 하중을 알려 주지 못한다. 하중이 커지면 일부 부재가 항복하고 재분배가 일어나며, 여유 강도가 남아 있는 경우가 많다. 이 여유를 정량화하기 위해 최초항복과 붕괴 단계를 구분하는 해석이 도입되었다.

강도설계법과 한계상태설계법은 구조물의 극한 상태를 기준으로 안전성을 판단한다. 트러스는 부재 수가 많고 지점 조건에 따라 부정정 차수가 달라지므로, 부재별 항복 순서를 체계적으로 추적하는 해석이 필요하다. 이 과정은 소성해석의 기본 원리와 연결되며, 라멘의 붕괴기구 해석과 같은 사고 틀을 공유한다.

또한 부재력과 변위를 함께 구하는 것은 설계 검토에 실용적이다. 최초항복하중은 사용 상태의 안전 여유를 보여 주고, 붕괴하중은 구조물이 파괴되는 한계를 보여 준다. 두 값을 비교하면 부정정 구조의 여유 강도를 판단할 수 있다.

그리고 완전 트러스의 부재 수 조건이 m = 2j - 3 으로 제시되어, 정정과 부정정을 구분하는 기준으로 쓰인다.

4. 구성요소·원리·절차

트러스의 최초항복 및 붕괴하중은 탄성 해석과 소성 해석의 두 단계로 나눠 구한다. 구성요소와 해석에 쓰는 값은 아래 표와 같다.

탄성 단계에서 정정 트러스의 부재력은 하중에 비례한다. 부정정 트러스는 부재의 EA/L 비에 따라 하중이 나뉜다. 어느 부재든 응력이 먼저 항복응력에 도달하면 그때의 하중이 최초 항복하중이다. 단위하중 P=1 일 때 부재 i 의 부재력을 f_i 라 하면 실제 부재력은 F_i = f_i P 이다. 한계 조건은 다음과 같다.

$|f_i| \, P \le N_i, \quad N_i = \sigma_y A_i \; (\text{인장 또는 압축 쪽 한계력})$

$P_y = \min_i \frac{N_i}{|f_i|}$

여기서 P_y 는 최초 항복하중(N), N_i 는 부재 i 의 한계력(N), f_i 는 P=1 일 때 부재력(무차원, 인장 +)이다. 좌굴을 무시하므로 인장강도와 압축강도가 다르면 부재의 부호에 따라 N_i 를 골라 쓴다.

최초 항복 시 처짐은 단위하중법(가상일의 방법) 으로 구한다. 모든 부재의 EA 가 같으면 식이 간단해진다.

$\delta_y = \sum_i \frac{f_i F_i L_i}{EA_i} = P_y \frac{\sum_i f_i^2 L_i}{EA}$

여기서 δy 는 최초 항복 시 a점 처짐(mm), E 는 탄성계수(MPa), A 는 단면적(mm²), L_i 는 부재 길이(mm)이다.

소성 단계에서 최초 항복 부재는 힘이 N_i 로 고정되고 강성을 잃는다. 나머지 부재는 추가 하중을 받아 힘이 재분배된다. 정정 트러스는 부재 하나가 항복하면 곧 메커니즘이 되므로 최초 항복하중과 붕괴하중이 같다. 정적 부정정 차수가 r 인 트러스는 r+1개의 부재가 항복해야 붕괴 메커니즘이 생긴다. 따라서 붕괴하중 P_u 는 최초 항복하중 P_y 보다 크다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 외력 P=1 을 가한 단위하중 상태에서 부재력 f_i 를 절점법으로 구한다.
• 각 부재의 한계하중 P_i = N_i / |f_i| 를 계산한다.
• 최소값을 최초 항복하중 P_y 로 정하고 그 부재를 항복 부재로 표시한다.
• 단위하중법으로 δy 를 구한다.
• 항복 부재의 강성을 제거하고 힘은 N_i 로 유지한 채 재해석한다.
• 새 메커니즘이 생기거나 모든 부재가 항복할 때의 하중을 붕괴하중 P_u 로 정한다.

정정 트러스는 최초 항복이 곧 붕괴이고, 부정정 차수 r 이면 r+1개 부재의 항복이 필요하다.

5. 관련 법령·기준·표준

국내 강구조 설계는 「건축법」에 따른 건축구조기준(국토교통부 고시)을 따른다. 2016년판 건축구조기준이 구조 설계의 기준 체계로 참조된다. 강구조 설계기준은 한계상태설계법으로 부재의 한계강도를 정하며, 이 체계에서 인장·압축 한계력은 저항계수를 곱한 설계강도로 쓴다. 최초항복·붕괴하중 해석은 이 설계강도 대신 재료의 공칭 항복응력으로 한계력을 잡는다.

위 표의 탄성계수는 강재의 공통 설계 상수이고, 저항계수는 설계강도 산정에 쓰인다. 항복 강도는 강종과 두께에 따라 달라지므로 문항에 주어진 항복강도 값을 그대로 대입한다. 형상계수는 보의 소성 해석 개념으로, 트러스의 부재 한계력 계산에는 직접 쓰지 않는다.

인장과 압축 한계를 구분하는 이유는 좌굴을 무시한 해석에서 부재 방향에 따라 한계력이 다르기 때문이다. 압축 부재는 세장비가 커지면 좌굴이 먼저 일어나므로, 문항처럼 좌굴을 무시하는 조건은 해석의 단순화이며 실제 설계에서는 좌굴 강도를 별도로 검토한다.

6. 유형과 비교

트러스 붕괴 해석에서 먼저 구분할 것은 구조 형식이다. 정정 트러스는 부재력이 평형방정식만으로 정해지므로 최초 항복과 붕괴가 같은 부재에서 일어난다. 부정정 트러스는 여기에 적합조건이 더해져 한 부재가 항복해도 나머지 부재가 하중을 분담하므로 붕괴까지 여러 단계를 거친다.

위 표에서 붕괴 판정은 부재 수가 아니라 기구(mechanism)가 생기는 시점으로 정한다. 정정 트러스에서는 최초 항복 = 붕괴이고, 부정정 차수가 1 늘 때마다 항복 한 단계가 추가된다는 점이 핵심이다.