온도하중 트러스 해석

왜 배우는가: 온도변화와 지점 조건이 있는 트러스는 부재 신축과 열응력이 함께 생겨 부정정 구조 해석의 기본 적용 사례가 된다. 건축구조기술사 시험에서 2교시와 4교시 모두에 반복 출제되므로, 정의와 원리를 정확히 알아야 변위·부재력 계산 순서를 잡을 수 있다.

출제 이력: 제91회 2교시 1번, 제89회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

온도하중 트러스 해석은 부재의 온도변화에 따른 자유 신축량을 등가 절점하중이나 초기 변형으로 바꾸어 강성방정식에 넣고 변위와 부재력을 구하는 해석이다.

• 온도하중
• 선팽창계수
• 열응력
• 자유 신축량
• 부정정 트러스
• 강성행렬

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 트러스 부재가 더워지면 길어지는데 양 끝이 막혀 있으면 그만큼 힘이 생긴다. 이 힘이 열응력이고, 이 해석은 그 힘과 변형을 계산하는 방법이다.

정식 정의는 다음과 같다. 트러스 부재는 축력만 받는 2절점 요소이므로, 온도변화 \Delta T가 생기면 부재 길이 L은 자유 상태에서 \alpha \Delta T L만큼 늘어난다. 이 자유 신축량이 구속되면 부재에 축력이 생긴다. 해석에서는 이 자유 신축량을 절점력으로 바꾸어 외력벡터에 더한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다. 선팽창계수(\alpha)는 온도 1℃ 변화당 단위 길이의 신축률이다. 자유 신축량은 부재가 구속 없이 자유롭게 변형하는 길이 변화량이다. 열하중은 자유 신축량을 구속하기 위해 절점에 작용하는 등가 하중이다. 이 세 가지를 구분해야 답안에서 혼동이 없다.

원리는 다음 식으로 정리된다. 부재 i의 온도 증분에 의한 축방향 자유 변형률은 \varepsilon_T = \alpha \Delta T이다. 부재 탄성계수를 E, 단면적을 A라 하면 구속에 의한 축력은 N_T = -EA\alpha\Delta T(압축 부호 양)이다. 이 축력을 절점에 등가 하중으로 환산하면 강성방정식의 우변에 더해진다.

전체 식은 \mathbf{K}\mathbf{U} = \mathbf{P} + \mathbf{F}_T 형태가 된다. 여기서 \mathbf{K}는 전체 강성행렬, \mathbf{U}는 절점 변위벡터, \mathbf{P}는 외력벡터, \mathbf{F}_T는 온도하중 등가 절점력 벡터다. 지점 조건을 적용한 뒤 \mathbf{U}를 풀고, 부재력은 부재 변형으로부터 구한다.

3. 등장 배경과 필요성

정정 구조는 온도가 변해도 부재가 자유롭게 늘어나므로 내력이 생기지 않는다. 그러나 부정정 구조나 지점이 구속된 구조에서는 온도변화가 곧 응력이 된다. 교량 상부 트러스, 대형 공장의 지붕 트러스, 플랜트 배관 지지 구조가 대표적이다. 설계에서 이 효과를 무시하면 부재 좌굴이나 접합부 파손으로 이어질 수 있다.

과거에는 최소일의 원리나 변위일치법으로 부정정력을 먼저 구한 뒤 온도 영향을 더하는 방식을 썼다. 이 방식은 부정정력을 하나씩 선택해야 하므로 계산이 복잡했다. 강성행렬법이 보급되면서 온도하중을 외력과 같은 방식으로 한꺼번에 처리하는 방법이 일반화되었다.

시험에서는 온도변화에 따른 잔류응력 유무, 지점 조건, 외력 동시 작용 여부를 주는 것이 보통이다. 그러므로 해석 방법을 고를 때 이 조건을 먼저 확인해야 한다. 잔류응력이 없다는 조건은 부재가 온도변화 전에는 무응력 상태였다는 뜻이며, 이 상태를 기준으로 자유 신축량을 계산한다.

4. 구성요소·원리·절차

온도하중 트러스 해석은 강성행렬법(Direct Stiffness Method)으로 정리하면 체계적으로 풀린다. 온도 변화로 생기는 부재의 자유 열변형을 외력과 같은 방식으로 절점에 옮겨 놓는 것이 핵심이다. 트러스 부재는 축력만 받으므로 각 부재는 축방향 강성만 가진다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

온도하중을 받는 부재의 자유 열팽창량은 다음과 같다.

$\delta_T = \alpha \, \Delta T \, L$

여기서 \alpha 는 선팽창계수(1/℃), \Delta T 는 온도 변화량(℃), L 은 부재 길이(m)다. 부재가 양단에서 구속되어 있으면 이 변형을 막는 축력이 생긴다. 이 축력이 온도하중에 의한 열응력(Thermal Stress)의 원인이다.

온도하중을 절점력으로 바꾸는 절차는 다음과 같다.

• 각 부재의 길이 L 과 방향각 \theta 를 구하고 방향여현 c=\cos\theta, s=\sin\theta 를 계산한다.
• 부재 강성행렬 k_e = \frac{EA}{L}\begin{bmatrix}c^2 & cs & -c^2 & -cs \\ cs & s^2 & -cs & -s^2 \\ -c^2 & -cs & c^2 & cs \\ -cs & -s^2 & cs & s^2\end{bmatrix} 를 만든다.
• 부재별 k_e 를 전체 강성행렬 K 에 중첩(조합)한다.
• 부재의 온도하중 F_T = EA\,\alpha\,\Delta T 를 부재 축방향 양끝에 작용하는 절점력으로 만든다. 방향은 부재 축을 따라 압축 방향이다. 이를 전체좌표로 변환하여 전체 하중벡터 F_T 에 더한다.
• 외력 P 를 해당 절점의 자유도 성분에 더한다.
• K\,U = F 에서 지점 경계조건을 적용하여 미지 변위를 구한다.
• 변위로부터 부재력 N = \frac{EA}{L}(\Delta_{\text{축}}) - EA\,\alpha\,\Delta T 를 계산한다.

온도하중은 부재가 자유롭게 늘어날 때의 변형을 구속하는 절점력으로 바꾸어 우변에 넣는다.

EA/L 는 부재 축강성이고, 온도하중 항은 EA·α·ΔT 로 같은 축강성에 열변형률을 곱한 값이다.

5. 관련 법령·기준·표준

트러스의 온도하중 해석은 건축구조기준의 하중 규정과 재료 물성에 따른다. 설계 시 사용하는 기준값은 다음과 같다.

강재의 탄성계수와 선팽창계수는 재료 물성으로서 설계 기준이 정한 값을 따른다. 온도 변화량은 문제 조건에 따라 바뀌므로 해석 시 주어진 값을 그대로 쓴다.

온도하중과 관련된 설계 규정의 개요는 다음과 같다.

• 온도 영향은 구조물의 신축과 응력에 영향을 주는 온도하중(Thermal Load)으로 고려한다.
• 온도 변화량은 기상 조건과 구조물의 노출 여부에 따라 설계자가 정한다.
• 부정정 구조물은 온도변화에 의해 응력이 생기며, 정정 구조물은 변형만 생긴다.

개정 연혁: 건축구조 관련 하중 기준은 주기적으로 개정되므로 적용 기준의 최신 판을 확인하는 것이 필요하다. 이 절에서는 해석 방법과 기준 수치의 개념을 정리했다.

6. 유형과 비교

온도하중을 받는 트러스 해석에서는 먼저 해석 방법과 구조 조건을 나눠 보아야 한다. 정정 트러스는 온도변화에도 부재력이 생기지 않고 변형만 생긴다. 부정정 트러스는 온도 변화로 인한 자기응력(self-stress)이 생기므로 적합조건을 함께 풀어야 한다.