트러스 변위

왜 배우는가: 트러스 변위 계산은 단위하중법(가상일의 원리)으로 절점 처짐을 구하는 문제로, 건축구조기술사 구조역학 시험에서 2~4교시에 걸쳐 여러 차례 반복 출제되었다. 부재 길이·단면적·탄성계수가 다른 여러 부재를 한 번에 다루므로, 부재력 산정과 합산 절차를 정확히 익혀야 실무 구조 검토와 시험 답안 모두에서 감점을 줄일 수 있다.

출제 이력: 제128회 2교시 3번, 제126회 2교시 1번, 제125회 3교시 1번, 제116회 4교시 6번, 제114회 2교시 4번, 제109회 3교시 2번, 제101회 4교시 3번, 제93회 2교시 3번, 제90회 3교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

트러스 변위는 단위하중을 구하는 점에 가상으로 재하하여, 각 부재의 실제 부재력과 가상 부재력의 곱을 전 부재에 대해 합산하는 단위하중법으로 구한다.

• 단위하중법
• 가상일의 원리
• 단위하중(가상 부재력)
• 실제 부재력
• 부재 변형량 ΔL = FL/(EA)
• 절점 처짐

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 트러스가 하중을 받아 어느 절점이 얼마나 내려가는지를 계산하는 방법이다. 실제 하중에 의한 부재력을 알고, 구하려는 절점에 크기 1의 가상 하중을 넣어 생기는 가상 부재력을 구한다. 두 부재력의 곱을 부재마다 더하면 처짐이 나온다.

정식으로는 가상일의 원리에 따라 외적 가상일과 내적 가상일이 같다는 조건에서 변위를 구하는 방법이다. 트러스는 부재가 축력만 받으므로 내적 가상일이 유한 합으로 바뀐다. 이를 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\delta = \sum_{i=1}^{m} \frac{F_i \, f_i \, L_i}{E_i A_i}$

여기서 F_i는 실제 하중에 의한 i번 부재의 부재력(N), f_i는 구하려는 점에 단위하중(1 kN 또는 1 N)을 가했을 때 i번 부재의 가상 부재력, L_i는 부재 길이(mm), E_i는 탄성계수(N/mm²), A_i는 단면적(mm²)이다. 인장 부재력은 양(+), 압축은 음(-)으로 통일한다.

핵심 용어는 다음과 같다. 단위하중은 변위를 구할 방향에 재하하는 크기 1의 가상 하중이다. 가상 부재력은 단위하중이 만든 부재력이며 기본계의 평형으로 구한다. 실제 부재력은 문제의 하중이 만든 부재력이다. 내적 가상일은 부재 축력과 축변형의 곱을 합한 것이다.

단위하중법은 정정 트러스뿐 아니라 부정정 트러스에도 쓸 수 있다. 부정정이면 가상 부재력을 구하는 기본계를 따로 정해야 하지만, 결과는 기본계를 바꿔도 같다. 위키백과 자료도 이 점을 강조한다. 적분 없이 유한 합만으로 계산되므로 트러스에서 가장 빠르게 쓰이는 방법이다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물의 처짐은 사용성과 안전 검토에 직접 쓰인다. 과도한 처짐은 마감재 균열, 배수 불량, 진동과 사용자 불안을 일으키므로 설계 단계에서 허용 처짐과 비교해야 한다. 트러스는 여러 부재가 절점에서 만나 한눈에 변형을 예측하기 어렵다.

초기에는 카스틸리아노의 정리가 변위 계산에 쓰였다. 제2정리는 변형에너지를 하중으로 편미분하여 변위를 구하는데, 하중 작용점에서 그 방향 변위를 얻을 수 있다. 다만 하중이 없는 점의 변위를 구하려면 가상 하중을 넣어야 하므로 결국 단위하중의 개념이 필요해진다.

단위하중법은 이 문제를 일반화한 방법이다. 선형·비선형 재료 모두에 적용할 수 있고, 온도 변화나 제작 오차 같은 환경 효과도 포함할 수 있다. 카스틸리아노 제1·제2정리는 지점 침하나 온도 변화에 따른 처짐 계산에 적용되지 않는다는 한계가 있는데, 단위하중법은 이런 경우에도 확장해 쓸 수 있다.