처짐각법 라멘 해석

왜 배우는가: 처짐각법은 강접 라멘과 연속보를 절점 회전각과 부재 현회전각을 미지수로 하는 변위법으로 풀어 해석 결과를 정확히 얻게 해 준다. 모멘트 분배법과 강성행렬법의 출발점이어서 여러 해석법의 기초가 되고, 라멘 해석 문제로 기술사 시험에서 반복해 출제된다.

출제 이력: 제97회 3교시 3번, 제95회 2교시 5번, 제93회 3교시 3번, 제92회 2교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

처짐각법은 부재 양단의 재단모멘트를 절점의 처짐각과 부재의 현회전각으로 나타낸 처짐각 방정식을 세우고, 절점 평형과 층 전단 평형으로 미지수를 구해 부재력을 구하는 변위법이다.

핵심 키워드

• 처짐각법(Slope Deflection Method)
• 재단모멘트(Member End Moment)
• 처짐각(Slope Angle, θ)
• 현회전각(Chord Rotation, ψ)
• 강도계수(Stiffness Factor, k)
• 절점 평형 방정식
• 층 전단 평형 방정식
• 고정단모멘트(Fixed End Moment)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 구조물의 각 절점이 얼마나 돌았고 각 부재의 양 끝이 얼마나 상대적으로 어긋났는지를 미지수로 잡는다. 그 변위로 각 부재 끝에 생기는 모멘트를 식으로 쓰고, 절점마다 모멘트가 0이 되도록 식을 세워 변위를 푼다.

정식 정의는 다음과 같다. 처짐각 방정식은 자유도에 해당하는 변위가 발생할 때 부재단에 생기는 모멘트를 부재의 강성도와 부재 양단의 변위, 즉 처짐각과 현회전각의 항으로 나타낸 식이다. 부재 ab의 a단과 b단 재단모멘트는 M_{ab}, M_{ba}로 쓰고, 두 식을 연립하면 양단 모멘트가 처짐각 \theta_a, \theta_b와 현회전각 \psi로 표현된다.

처짐각(θ)은 절점이 회전한 각도다. 현회전각(ψ)은 부재 양단의 상대변위를 부재 길이로 나눈 값이며, 횡방향 변위나 지점 침하로 생긴다. 이 둘이 처짐각법의 미지수다.

강도계수(k)는 부재의 EI/L로, 부재가 회전에 얼마나 저항하는지를 나타낸다. 처짐각 방정식은 흔히 부재 강성을 나타내는 계수 형태로 정리한다.

핵심 용어 풀이를 정리하면 다음과 같다.

• 재단모멘트: 부재 끝 절점에서 부재에 작용하는 모멘트. 절점 평형의 대상이다.
• 고정단모멘트: 양단을 고정했을 때 하중으로 생기는 모멘트. 처짐각 방정식에 더해진다.
• 절점 평형: 한 절점에 모인 재단모멘트의 합이 0이라는 조건이다.
• 층 전단 평형: 횡변위가 있는 골조에서 기둥 전단력의 합이 수평하중과 같다는 조건이다.

3. 등장 배경과 필요성

처짐각법은 1915년 미네소타 대학교의 조지 A. 매니(G. A. Maney) 교수가 발표했다. 연속보와 뼈대 구조에 적용할 수 있는 해석법으로, 모멘트 분배법이 나오기 전까지 정확한 구조해석의 표준 방법으로 널리 쓰였다.

당시에는 부정정 구조를 정확히 풀려면 많은 연립방정식을 손으로 풀어야 했다. 처짐각법은 미지수를 절점 회전각과 현회전각으로 줄여 식의 수를 구조물의 자유도 수로 한정한다. 이 점에서 변위법(강성도법)에 속한다.

처짐각법은 소규모 구조물에 효율적이며, 모멘트 분배법을 이해하는 기초가 된다. 모멘트 분배법은 처짐각법에서 발전한 방법이지만, 미지수를 처짐각 대신 재단모멘트로 잡고 반복 계산으로 근사해를 구한다. 또한 매트릭스 구조해석의 강성행렬 원리와도 직접 연결된다.