고유주기

왜 배우는가: 고유주기는 구조물이 자유진동할 때 한 번 진동하는 데 걸리는 시간으로, 지진응답스펙트럼에서 설계 응답가속도를 결정하는 기본 변수이다. 질량과 강성의 관계로 구조물의 동적 특성을 판단하는 출발점이므로 동역학 문제에서 반복적으로 출제된다.

출제 이력: 제95회 4교시 3번, 제91회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

고유주기는 외란 없이 구조물이 자유진동할 때 한 사이클을 완료하는 데 걸리는 시간으로, 질량과 강성에 의해 결정되는 동적 고유값이다.

• 고유주기(Natural Period)
• 고유진동수(Natural Frequency)
• 질량(Mass)
• 강성(Stiffness)
• 자유진동(Free Vibration)
• 감쇠비(Damping Ratio)
• 단자유도계(SDOF)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 고유주기는 구조물이 혼자 흔들릴 때 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간이다. 흔들림이 빠른지 느린지를 나타내는 구조물 고유의 성질이라고 생각하면 된다.

정식으로는 고유주기를 고유원진동수 \omega_n(rad/s)으로 나타낸 T_n으로 정의한다. 단위는 초(s)이다.

$T_n = \frac{2\pi}{\omega_n}$

여기서 T_n은 고유주기(s), \omega_n은 고유원진동수(rad/s)이다. 고유진동수 f_n(Hz)은 고유주기의 역수다. 즉 f_n = 1/T_n이다.

비감쇠 단자유도계에서 고유원진동수는 다음과 같다.

$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$

여기서 k는 횡강성(N/m), m은 질량(kg)이다. 이를 대입하면 고유주기는 다음과 같다.

$T_n = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

이 식은 고유주기가 질량의 제곱근에 비례하고 강성의 제곱근에 반비례한다는 뜻이다. 질량이 커지면 주기가 길어지고, 강성이 커지면 주기가 짧아진다.

감쇠(Damping)는 진동이 시간에 따라 줄어드는 현상이다. 감쇠비 \zeta가 작은 일반 건축구조물에서는 감쇠가 고유주기에 미치는 영향이 작아, 비감쇠 식으로 근사하는 것이 보통이다. 다만 감쇠비가 커지면 감쇠 고유진동수 \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}를 써야 한다.

자유진동(Free Vibration)은 외력 없이 초기 변위나 초기 속도만으로 일어나는 진동이다. 고유주기는 이 자유진동 응답에서 측정하거나 계산하는 값이다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물이 외력을 받으면 질량과 강성의 관계에 따라 응답이 달라진다. 외력의 주기가 구조물의 고유주기와 가까우면 응답이 크게 증폭되는 공진이 일어난다. 이 때문에 설계 단계에서 고유주기를 미리 산정해야 한다.

1950년대 이후 지진 응답 해석이 발전하면서 응답스펙트럼이 도입되었다. 응답스펙트럼은 고유주기를 가로축으로 하는 그래프이므로, 고유주기 산정이 내진설계 해석의 첫 단계가 되었다. 건축구조 설계기준에서도 밑면전단력 산정식의 고유주기 근사식이 정해져 있다.

고유주기 산정은 부재 크기와 재료 강성을 바꾸어 구조계의 동적 특성을 조정하는 데에도 쓰인다. 예를 들어 고유주기를 짧게 하려면 강성을 높이고, 지진 입력의 주된 주기 대역에서 멀어지도록 설계할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

고유주기(natural period)는 구조물이 외란을 받은 뒤 감쇠 없이 한 번 진동하는 데 걸리는 시간이다. 구조물의 질량과 강성이 정해지면 고유주기가 정해진다. 구조물의 질량(m), 강성(k), 고유원진동수(ω), 고유주기(T)가 핵심 구성요소다.

원리는 단자유도계(SDOF)의 비감쇠 자유진동 식에서 나온다. 운동방정식은 $m\ddot{u}+ku=0이다. 해는 \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}이고, 고유주기는 T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}이다. 질량 m은 중량 W와 중력가속도 g로 m=\frac{W}{g}로 바꾼다. 따라서 T=2\pi\sqrt{\frac{W}{kg}}$이다.

고유주기는 질량의 제곱근에 비례하고 강성의 제곱근에 반비례한다. 질량이 커지면 주기가 길어지고, 강성이 커지면 주기가 짧아진다.

강성은 부재 휨강성으로 구한다. 한쪽 끝이 고정되고 다른 끝이 자유인 기둥의 횡강성은 $k=\frac{3EI}{L^3}이다(E: 탄성계수, I: 단면2차모멘트, L: 기둥 길이). 상단이 강접합된 보로 횡변위가 구속되어 보가 회전하지 않는 골조에서는 양단 고정 기둥의 횡강성 k=\frac{12EI}{h^3}를 쓴다. 보와 기둥이 핀접합이면 기둥 상단의 회전 구속이 없어 강성이 낮아지고, 기둥 한 개의 횡강성은 k=\frac{3EI}{h^3}$로 떨어진다. 여기서 h는 기둥 높이다.

골조 전체의 횡강성은 각 기둥의 강성을 더해 구한다. 같은 기둥이라도 접합 조건에 따라 강성이 4배 차이 날 수 있다. 접합 조건이 고유주기를 바꾸는 이유가 여기에 있다.

고유주기 산정 절차는 다음과 같다.

• 구조물의 중량 W와 질량 m = W/g를 구한다(중량 단위는 kN을 kg 또는 N으로 환산).
• 부재 단면 성능(E, I)과 길이(h, L), 접합 조건을 정한다.
• 접합 조건에 맞는 횡강성 k를 기둥별로 구하고 전체 k를 합한다.
• ω = √(k/m)를 구한다.
• T = 2π/ω를 계산하고 결과의 단위를 확인한다.

다자유도계는 질량행렬 [M]과 강성행렬 [K]에서 고유치 문제 $([K]-\omega^2[M])\{\phi\}=0$을 푼다. 1차 모드의 고유주기가 대개 가장 길고, 설계에서 가장 중요하다. 질량이 여러 층에 나뉜 건물에서는 층질량 행렬을 쓰고, 근사 해석에서는 Rayleigh 방법으로 강성과 질량의 비로 1차 주기를 추정한다.

5. 관련 법령·기준·표준

고유주기 산정 자체는 역학 기본식이고, 법령은 그 결과를 내진설계에 쓰는 방법을 정한다. 「건축법」에 따른 건축구조기준(KDS)이 설계 기준을 제공하며, 내진설계 기준은 건축구조기준의 내진 규정이다. 구조 해석에서 쓰는 기준 수치는 아래와 같다.

표의 값 중 중력가속도와 탄성계수는 문제에서 준 값을 그대로 쓴다. 중력가속도 g는 표준 중력가속도 9.80665m/s²와 차이가 작으므로 답안에서는 문제에서 주어진 값을 따른다. 설계 기준의 근사주기 식은 건축물 높이와 구조형식에 따라 계수가 달라지므로, 구조해석으로 구한 고유주기와 비교해 적용 범위를 확인해야 한다.