프리스트레스트 보 휨강도

왜 배우는가: 프리스트레스트 보의 휨강도는 긴장재 응력을 구하는 과정이 일반 철근콘크리트 보와 달라서 실무 설계와 계산 문제에서 자주 틀린다. 부착과 비부착 긴장재의 차이, 변형률 적합에 의한 긴장재 응력 계산은 2교시 계산 문제와 4교시 논술에서 반복해서 나온다.

출제 이력: 제134회 4교시 4번, 제99회 2교시 5번, 제97회 4교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

프리스트레스트 보 휨강도는 긴장재 인장력과 압축부 콘크리트 응력의 합력이 평형을 이루는 상태에서 구한 휨모멘트 저항능력이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 긴장재 응력 f_{ps}
• 변형률 적합
• 등가 응력블록
• 부착 긴장재
• 비부착 긴장재
• 저릴랙세이션 강연선
• 공칭휨강도 M_n
• 강도감소계수 \phi

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 프리스트레스트 보는 하중이 작용하기 전에 긴장재로 콘크리트를 미리 눌러 둔 보다. 휨하중이 걸리면 하단의 긴장재가 늘어나 인장력이 커지고, 휨강도는 이 인장력이 얼마까지 커질 수 있는지로 정해진다.

정식으로는 긴장재 응력이 파괴 시점의 긴장재 응력이다. 부착 긴장재는 콘크리트와 함께 변형하므로, 단면 변형률 분포(평면 유지)를 이용하는 변형률 적합으로 긴장재 변형률을 구한다. 긴장재 변형률은 그 위치의 콘크리트 변형률에 유효 프리스트레인을 더해서 얻는다.

압축부 응력은 등가 응력블록으로 바꾼다. 응력블록 깊이는 a=\beta_1 c이고, 압축 응력은 0.85f_{ck}로 균등하게 분포한다고 본다. 여기서 c는 중립축 깊이다.

부착 긴장재 단면의 긴장재 응력은 다음 식으로 구한다.

$f_{ps}=f_{pu}\left[1-\frac{\gamma_p}{\beta_1}\left(\rho_p\frac{f_{pu}}{f_{ck}}+\frac{d}{d_p}(\omega-\omega')\right)\right]$

여기서 f_{pu}는 긴장재의 인장강도(MPa), \gamma_p는 긴장재 종류별 계수, \beta_1은 등가 응력블록 계수, \rho_p=A_{ps}/(bd_p)는 긴장재비, \omega와 \omega'는 인장·압축 철근비에 f_y/f_{ck}를 곱한 값이다. d와 d_p는 압축연단에서 철근과 긴장재까지의 거리(mm)다. 철근을 쓰지 않은 완전 프리스트레스트 부재에서는 \omega=\omega'=0이 되어 식의 마지막 항이 사라진다.

힘의 평형식은 A_{ps}f_{ps}=0.85f_{ck}ab이다. 공칭휨강도는 M_n=A_{ps}f_{ps}\left(d_p-\frac{a}{2}\right)이고, 설계휨강도는 \phi M_n이다.

\beta_1은 콘크리트 설계기준강도에 따라 정한다. fck 28MPa 이하 β1 = 0.85이고, 28MPa을 넘으면 7MPa마다 0.05씩 줄이며 하한은 0.65다. 강도감소계수는 인장지배 단면에서 관련 기준이 정한 값을 쓴다.

비부착 긴장재는 콘크리트와 떨어져 있어 단면 변형률을 쓸 수 없다. 대신 부재 전 길이의 평균 변형률로 구하는 근사식을 쓴다. 이 식은 유효 응력 f_{pe}에 증분을 더하는 형태이고, 증분에 상한을 둔다. 비부착 긴장재는 극한강도가 부착 긴장재보다 낮지만, 전 길이에 걸쳐 변형을 분담하므로 파괴 전 연성이 크다.

3. 등장 배경과 필요성

철근콘크리트 보는 인장 균열이 생기면 철근이 인장력을 받는다. 그러나 긴 경간이나 얇은 단면을 만들려면 균열을 누르는 압축력이 필요하다. 프리스트레스트 콘크리트는 고강도 강재로 콘크리트에 미리 압축력을 주어 이 문제를 풀었다. 사용하중에서 균열을 억제하고 처짐을 줄일 수 있다.

긴장재는 뚜렷한 항복 구간이 없는 고강도 강연선이다. 철근처럼 항복강도 f_y를 가정해 강도를 구할 수 없으므로, 강도 계산에서는 긴장재 응력을 변형률로부터 다시 구해야 한다. 이것이 프리스트레스트 보 휨강도 계산이 철근콘크리트 식과 달라지는 이유다.

긴장재가 콘크리트와 부착되어 있는지에 따라 계산 방식도 나뉜다. 부착 긴장재는 단면 변형률 적합으로, 비부착 긴장재는 평균 변형률 근사식으로 구한다. 비부착 구조는 슬래브와 대경간 구조에서 많이 쓰므로, 두 경우를 구분하는 능력이 실무 설계와 시험 모두에서 필요하다.

설계 실무에서는 필요한 휨강도가 정해지면 식을 거꾸로 풀어 긴장재량을 정한다. 따라서 휨강도 식은 긴장재 수량과 편심을 결정하는 기준이 된다.

4. 구성요소·원리·절차

프리스트레스트 보의 휨강도는 긴장재와 콘크리트의 변형률 적합 조건으로 구한다. 부착 긴장재는 콘크리트와 함께 변형하므로 긴장재의 증분 응력을 콘크리트 변형률로부터 구하고, 비부착 긴장재는 부재 전체 길이에 걸친 평균 변형률로 응력 증분을 구한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

등가 응력블록은 압축부 콘크리트 응력을 0.85f_{ck}의 일정 응력으로 치환하고, 깊이는 a=\beta_1 c로 둔다. \beta_1 은 f_{ck} 40MPa 이하에서 0.8 로 본다.

원리는 다음 세 가지다.

• 평형 조건: 긴장재 인장력과 콘크리트 압축력이 같다.
• 변형률 적합: 단면 변형률은 중립축 거리에 비례한다.
• 긴장재 응력–변형률: 유효 프리스트레스 f_{pe}에 증분 응력을 더한 값이 f_{ps}다.

부착 긴장재는 콘크리트 변형률로, 비부착 긴장재는 평균 변형률로 응력 증분을 구한다

절차는 다음과 같다.

• 유효 프리스트레스 f_{pe}를 손실 후 값으로 구한다.
• 극한 상태에서 긴장재 변형률 증분 \Delta\varepsilon_{ps}를 적합 조건으로 구한다.
• 응력–변형률 관계에서 f_{ps}를 구한다.
• 힘의 평형식 T=C로 중립축 깊이 c를 구한다.
• 공칭휨강도 M_n을 구하고 강도감소계수 \phi를 곱한다.

핵심 공식은 다음과 같다.

$T = A_{ps} f_{ps}$

$C = 0.85 f_{ck} b a, \quad a = \beta_1 c$

$M_n = A_{ps} f_{ps}\left(d_p - \frac{a}{2}\right)$

여기서 A_{ps}는 긴장재 단면적(mm²), f_{ps}는 극한 시 긴장재 응력(MPa), f_{ck}는 콘크리트 설계기준압축강도(MPa), b는 압축부 폭(mm), a는 등가 응력블록 깊이(mm), c는 중립축 깊이(mm), d_p는 긴장재 중심에서 압축연단까지 거리(mm)다.

부착 긴장재의 f_{ps}는 다음 식으로 구한다.

$f_{ps} = f_{pe} + \Delta f_{ps}$

여기서 \Delta f_{ps}는 극한 시 콘크리트 변형률로부터 구한 증분 응력(MPa)이다. 완전 프리스트레스트 부재에서는 f_{pe}가 크고 증분이 작아 f_{ps}가 f_{pe} 근처에 머문다.

비부착 긴장재의 응력 증분은 부재 전체 길이의 평균 변형률을 쓰므로 부착 긴장재보다 작다. 그래서 같은 긴장재라도 비부착 쪽 휨강도가 낮게 나온다.

5. 관련 법령·기준·표준

프리스트레스트 콘크리트 휨강도는 건축에서 KDS 14 20 00(콘크리트구조 설계기준, 강도설계법)과 KDS 14 20 53(프리스트레스트 콘크리트 설계 세부 규정)을 따른다. 프리스트레싱 시 콘크리트 강도와 긴장재 기준은 KCS 14 20 53 체계에 있다.

프리스트레싱 시 콘크리트 압축강도는 최대 압축응력의 1.7배 이상으로 한다

기준값을 표로 모으면 다음과 같다.

강도감소계수 \phi는 인장지배 단면에서 관련 기준이 정한 값을 쓰는 것이 일반적이다. 프리스트레스트 부재는 긴장재 항복 전 파괴가 일반적이므로 변형률 조건으로 \phi를 확인한다.