연속보 모멘트분배법

왜 배우는가: 연속보 모멘트분배법은 여러 지점을 가진 부정정 보를 손으로 풀 수 있게 해 주는 기본 해석법이다. 실무에서 보와 골조의 지점 모멘트를 빠르게 검토할 때 쓰이며, 처짐각법의 원리를 이해하는 출발점이 되므로 기술사 시험에서 계산 문제와 개념 문제로 반복 출제된다.

출제 이력: 제112회 4교시 1번, 제97회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

모멘트분배법은 절점을 고정한 상태에서 생긴 고정단 모멘트의 불균형을 강성비에 따라 분배하고 전달하기를 반복하여 부재단 모멘트를 구하는 근사 반복 해석법이다.

• 모멘트분배법, 고정단 모멘트, 분배율, 전달률(전달계수), 불균형 모멘트, 부정정 연속보
• 강비(상대강성), 부호 규약, 반복 계산 수렴

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 보의 지점을 모두 손으로 묶어 놓고 하중만 가했을 때 각 지점에 생기는 모멘트 차이를 지점마다 나누어 주고, 그 모멘트가 반대편 지점으로 넘어가는 과정을 되풀이하는 방법이다. 결국 지점이 조금씩 돌면서 모멘트가 평형에 이른다.

정식 정의는 다음과 같다. 고정단 모멘트는 모든 절점을 회전이 없도록 고정했을 때 부재 양단에 생기는 모멘트이다. 절점에서 이 고정단 모멘트의 합이 0이 아니면 그 차이를 불균형 모멘트라 한다. 이 불균형 모멘트를 연결된 부재들에 분배율로 나누어 준다.

분배율은 절점에 모인 각 부재의 강성 비율이다. 부재 강성 k=\dfrac{4EI}{L}(원단 고정 기준)을 쓰면 분배율은 \dfrac{k_{ij}}{\sum k} 이다. 단, 원단이 힌지나 롤러이면 k=\dfrac{3EI}{L} 를 쓴다.

전달률은 분배된 모멘트가 부재의 먼 쪽 단으로 넘어가는 비율이다. 일반 등단면 보에서 고정단으로 가는 전달률은 \dfrac{1}{2} 이다. 먼 쪽 단이 힌지나 롤러이면 전달은 0 이다.

부호 규약은 계산 편의를 위해 시계 방향 또는 반시계 방향 모멘트를 양(+)으로 정한다. 한 문제 안에서는 처짐각법의 부호 규약을 끝까지 같게 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

19세기 말부터 연속보와 라멘을 해석하려면 다수의 미지수를 가진 연립방정식을 풀어야 했다. 당시에는 계산기가 없어 손으로 풀 수 있는 방법이 필요했다. 1930년대에 Hardy Cross가 제안한 모멘트분배법은 연립방정식을 세우지 않고 반복 계산으로 답에 접근하게 했다.

모멘트분배법은 처짐각법에서 발전된 방법이다. 처짐각법은 절점의 회전각을 미지수로 두고 연립방정식을 세운다. 이에 비해 모멘트분배법은 부재단 모멘트 자체를 반복적으로 조정한다. 그래서 강성이 큰 부재에 모멘트가 더 많이 몰리는 현상을 직관적으로 보여 준다.

이 방법이 필요한 이유는 세 가지다. 첫째, 미지수가 많은 연속보에서 연립방정식 없이 해를 얻을 수 있다. 둘째, 각 단계의 물리적 의미가 분명하여 설계자가 결과의 타당성을 판단하기 쉽다. 셋째, 반복이 수렴하는 과정이 눈에 보여 개략 검토와 검산에 적합하다.

현대에는 매트릭스 구조해석이 표준이지만, 모멘트분배법은 해석 결과를 손으로 확인하는 검산 도구로 여전히 쓰인다. 기술사 답안에서는 절점 평형과 반복 과정을 단계별로 보이는 것이 핵心 채점 포인트이다.

4. 구성요소·원리·절차

모멘트분배법(Moment Distribution Method)은 모든 절점을 회전이 없도록 고정한 상태에서 출발한다. 이후 절점을 하나씩 풀면서 생기는 불균형 모멘트를 분배(Distribution) 하고, 분배된 모멘트를 먼 쪽 단으로 전달(Carry-over) 하는 과정을 반복한다. 반복 계산이 충분히 작아지면 각 부재단의 최종 모멘트는 고정단 모멘트에 분배 모멘트와 전달 모멘트를 더해 얻는다. 구성요소는 다음 표와 같다.

표의 값은 등단면 보를 전제로 한다. 부재 강성은 한쪽 단에 단위 회전을 줄 때 필요한 모멘트이며, 처짐각법의 강성 관계에서 유도된다. 전달률은 한쪽 단을 회전시켰을 때 반대쪽 단에 나타나는 모멘트의 비이다. 부호는 시계 방향을 양(+)으로 정하는 처짐각법 관례를 따르면 계산이 일관된다.

분배율과 전달 모멘트는 다음 식으로 계산한다.

$\mu_{ij}=\frac{K_{ij}}{\sum K_{i}}, \qquad \sum_{j}\mu_{ij}=1$

$M_{dist}=-\mu_{ij}\,M_{unb}, \qquad M_{co}=C_{ij}\,M_{dist}$

여기서 K_{ij}는 부재 강성(N·m 단위의 EI 계열 값), \sum K_{i}는 절점 i에 모인 강성의 합, M_{unb}는 절점의 불균형 모멘트(고정단 모멘트의 합), C_{ij}는 전달률이다. 분배율의 합은 항상 1이 된다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 모든 부재의 고정단 모멘트를 하중 공식으로 구한다.
• 각 절점의 불균형 모멘트를 고정단 모멘트의 합으로 구한다.
• 절점마다 부재 강성으로 분배율을 구한다. 자유 절점이 아닌 고정 지점은 분배하지 않는다.
• 불균형 모멘트를 분배율에 따라 부호를 바꿔 분배한다.
• 분배 모멘트에 전달률을 곱해 먼 쪽 단으로 전달한다.
• 분배와 전달을 반복하고, 남은 불균형 모멘트가 작아지면 각 단의 모멘트를 합산한다.

고정단 모멘트 계산 후 분배와 전달을 반복하는 수렴 과정이 핵심이다

5. 관련 법령·기준·표준

모멘트분배법은 구조역학의 해석 방법이므로 제정된 법령 조문은 없다. 설계 단계에서는 건축구조기준(KDS 계열)이 정한 하중과 하중 조합을 적용해 부재력을 구하고, 그 결과로 단면을 검토한다. 기준은 해석 결과에 쓸 하중을 정하고, 해석 방법 자체는 구조역학의 이론을 따른다. 따라서 이 절의 기준값은 교재와 해석 이론에 널리 실린 값이다.

표의 값은 부재 강성과 전달률이 등단면 조건에서 성립하는 값이다. 변단면 부재나 탄성 지점 조건에서는 강성과 전달률을 따로 구해야 한다. 임의 위치 a에 집중하중 P가 작용하면 고정단 모멘트는 Pab^2/L^2(a단)과 Pa^2b/L^2(b단)이다.

6. 유형과 비교

모멘트 분배법은 연속보와 골조를 같은 절차로 풀지만, 절점 이동이 없는 경우와 횡변위가 있는 경우, 그리고 부재 단부 조건에 따라 계산 방식이 달라진다. 답안에서는 먼저 해석 대상을 나누고, 각 경우에 필요한 고정단 모멘트와 전달률을 구분해 쓴다.

위 표는 해석 범위를 구분하는 기준이다. 연속보는 절점 회전만 생기므로 분배와 전달만으로 끝나고, 골조는 층 전단 평형식을 추가해야 한다.