반력 및 부재력

왜 배우는가: 반력과 부재력은 모든 구조 해석의 첫 단계이며, 설계 하중과 부재 단면을 정하는 출발점이다. 시험에서는 개념 구분과 평형 조건 적용 능력을 함께 확인하므로 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제139회 2교시 1번, 제114회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 반력은 평형을 이루는 지점의 힘이고, 부재력은 외력에 의해 부재 단면에 생기는 축력·전단력·휨모멘트다.

핵심 키워드

• 반력(Reaction): 지점이 구조물에 가하는 힘과 모멘트다.
• 부재력(Member Force): 부재 단면에 생기는 내력이다.
• 축력(Axial Force): 부재축 방향의 내력이다. 인장을 정(+)으로 쓴다.
• 전단력(Shear Force): 부재축에 직각인 방향의 내력이다.
• 휨모멘트(Bending Moment): 단면을 휘게 하는 내력 모멘트다.
• 평형방정식(Equilibrium Equation): 힘과 모멘트의 합이 0이라는 식이다.
• 정정·부정정(Determinacy): 평형방정식만으로 미지수가 정해지는지 여부다.
• 부호 규약(Sign Convention): 내력의 양과 음을 정하는 약속이다.

정의의 핵심은 두 가지다. 첫째, 반력은 구조물 밖에서 들어오는 힘이다. 둘째, 부재력은 구조물 안에서 단면을 사이에 두고 주고받는 힘이다. 두 값을 구분해 쓰면 개념 혼동에 따른 감점을 피할 수 있다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 구조물은 하중을 받아 지반으로 넘기는 통로다. 통로의 지지점에서 하중을 받아 버티는 힘이 반력이고, 통로 속 부재가 실제로 주고받는 힘이 부재력이다. 반력을 먼저 구해야 부재력을 구할 수 있다.

정식 정의는 다음과 같다. 반력은 지점에서 구조물에 작용하는 힘과 모멘트이고, 부재력은 임의의 단면을 가상으로 절단했을 때 절단면에 작용하는 내력이다. 구조물 전체와 그 일부는 모두 힘과 모멘트가 평형을 이룬다.

평면 구조물의 평형조건은 다음 세 식이다.

$\sum F_x=0,\quad \sum F_y=0,\quad \sum M=0$

평면 강체가 만족해야 하는 독립 평형방정식은 3개 이다. 미지수 개수가 이 식 수와 같으면 정정, 많으면 부정정이다. 부정정 차수는 미지수 개수에서 독립 평형방정식 개수를 뺀 값으로 정의한다.

핵심 용어는 다음과 같이 풀이한다.

• 자유물체도(Free Body Diagram): 구조물 전체나 일부를 떼어 내고 작용하는 힘을 모두 그린 그림이다. 평형식을 세우는 출발점이다.
• 단면법(Method of Sections): 관심 단면을 가상으로 자르고 한쪽 부분의 평형으로 그 단면의 축력·전단력·휨모멘트를 구하는 방법이다.
• 절점법(Method of Joints): 절점에 모인 부재력의 평형으로 트러스 부재력을 구하는 방법이다.

단면법에서는 자른 면의 한쪽만 떼어 평형식을 세운다. 자른 면에 작용하는 N, V, M은 떼어 낸 부분이 받는 내력이므로 방향을 가정하고, 계산 결과의 부호로 실제 방향을 판단한다. 부호 규약을 먼저 정하지 않으면 같은 해석이라도 SFD와 BMD의 부호가 뒤바뀐다. 본 학습서는 축력은 인장을 정(+), 휨모멘트는 부재의 아래면이 인장되는 경우를 정(+)으로 쓴다.

케이블과 도르래가 포함된 문제에서는 마찰을 무시한 이상 도르래를 가정한다. 이 경우 케이블 장력은 전 구간에서 같고 방향만 바뀐다. 도르래에 걸리는 힘은 각 구간 장력 벡터의 합이며, 이 합력이 구조물의 해당 절점에 작용하는 외력이 된다.

정정 구조는 평형방정식만으로 반력과 부재력을 구할 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

실무에서 반력은 기초와 지지부의 설계 하중을 정하는 근거다. 부재력은 각 부재의 단면 크기, 접합부 강도, 철근량을 정하는 설계 하중이다. 반력이 틀리면 뒤따르는 부재력 전부가 틀리므로 해석의 첫 단계에서 가장 정확하게 구해야 한다.

구조 형식이 다양해지면서 평형방정식만으로는 풀리지 않는 구조가 늘었다. 연속보, 라멘, 아치, 트러스는 지점 수나 절점 강성이 많아 부정정 구조가 되기 쉽다. 부정정 구조는 평형식에 변형 적합 조건을 더해야 풀린다. 이 필요에서 변위 일치법, 최소일법, 처짐각법, 강성행렬법 같은 해석법이 발전했다.

정정과 부정정의 차이는 구조 안전과 경제성에 직접 연결된다. 정정 구조는 해석이 간단하지만 한 부재가 파괴되면 바로 붕괴 경로가 된다. 부정정 구조는 여분의 부재가 하중을 다른 경로로 전달하므로 여유가 크다. 대신 온도 변화, 지점 침하, 제작 오차가 부재력을 바꾸므로 해석 단계에서 이런 영향까지 고려해야 한다.

설계 현장에서 반력이 중요한 이유는 기하 조건에 민감하기 때문이다. 도르래, 케이블, 경사 지점처럼 힘의 방향이 바뀌는 요소가 끼면 같은 하중에도 반력의 수평·수직 성분이 달라진다. 방향 정보가 빠지면 해석 결과 전체를 다시 계산해야 한다.

기술사 시험에서 이 개념이 반복되는 이유도 여기에 있다. 1교시 용어 문제는 정의와 구분을 묻고, 2~4교시 논술 문제는 반력 산정에서 부재력과 변위로 이어지는 해석 절차를 묻는다. 따라서 반력의 정의와 평형 조건을 정확히 쓰는 것이 모든 해석 답안의 출발점이다.

4. 구성요소·원리·절차

반력과 부재력은 자유물체도를 그리고 평형방정식을 세워 구한다. 해석에 쓰이는 구성요소는 다음과 같다.

정지한 평면 구조물은 외력의 합과 모멘트의 합이 0이어야 한다. 한 개의 강체에 적용되는 독립 평형방정식은 평면에서 3개다. 미지 반력과 미지 부재력의 수가 독립 방정식 수와 같으면 정정, 많으면 부정정이다. 부정정 차수는 M − N으로 정의한다. M은 미지 반력과 미지 부재력의 개수, N은 독립 평형방정식의 개수다. 골조는 절점의 회전 상태에 따라 M을 따로 센다. 이 값이 0이면 정정, 양수이면 부정정이다.

케이블은 인장력만 받는다고 가정한다. 마찰과 자중을 무시하면 케이블 장력 T는 구간마다 같다. 이상적인 도르래는 양쪽 구간의 장력이 같다. 도르래가 B점에 주는 작용력은 두 구간 장력 벡터의 합이다. 두 구간 방향의 단위벡터를 e₁, e₂라 하면 작용력은 다음과 같다.

$\vec{F}_B = T(\vec{e}_1+\vec{e}_2)$

여기서 T는 케이블 장력(N), e₁, e₂는 각 구간 방향의 단위벡터다. 두 구간이 이루는 각 φ에 대해 작용력의 크기는 $|\vec{F}_B| = 2T\cos(\varphi/2)$ 이다. 방향 전환 각도가 달라지면 성분도 달라지므로 기하 조건을 먼저 확정한다.

부재력 해석 절차는 다음과 같다.

• 구조물 전체 또는 부재별 자유물체도를 그리고 미지 반력과 미지 부재력을 표시한다.
• 케이블 장력을 구하고 도르래 작용력을 해당 절점의 외력으로 넣는다.
• 평형방정식으로 지점 반력을 구한다.
• 절단법 또는 절점법으로 각 부재의 N, V, M을 구한다.
• 부호 규약을 정하고 전단력도(SFD)와 휨모멘트도(BMD)를 작성한다.
• 변위가 필요하면 단위하중을 가한 가상계로 가상일 식을 세운다.

분포하중이 있는 구간에서는 다음 관계가 성립한다. 하중 w(x), 전단력 V(x), 휨모멘트 M(x)에 대해 dV/dx = −w, dM/dx = V다. 따라서 SFD의 기울기는 분포하중의 크기를, BMD의 기울기는 전단력을 나타낸다. 집중하중이 작용하는 점에서는 SFD가 그 크기만큼 뛰고, BMD는 꺾인다.

5. 관련 법령·기준·표준

구조물의 설계하중과 하중조합은 「건축구조기준(KDS)」의 하중 규정을 따른다. 「건축법」에 따른 구조 안전 확인도 같은 기준 체계를 쓴다. 반력과 부재력을 구하는 해석 방법 자체는 구조역학의 일반 이론에 따른다. 시험 답안에서는 기준 조항 번호보다 평형조건과 변위식을 정확히 쓰는 것이 중요하다.

아래 표는 해석에 쓰는 기준값과 식을 모은 것이다.