보 휨응력 및 처짐

왜 배우는가: 보의 휨응력과 처짐은 강구조 설계에서 강도 검토와 사용성 검토를 대표하는 두 기준이다. 단면을 얇게 설계할수록 처짐이 설계를 지배하므로 실무에서 단면 치수를 정할 때 반드시 확인한다. 시험에서는 두 조건을 동시에 만족하는 단면 치수를 구하거나 최대 응력과 최대 처짐을 계산하는 형태로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제127회 1교시 9번, 제116회 3교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

보 휨응력은 휨모멘트에 의해 단면에 생기는 수직응력이고, 보 처짐은 하중에 의해 부재 축이 휘어 내려간 변위량이다.

핵심 키워드

• 휨응력: 휨모멘트에 의해 단면에 생기는 수직응력이다. 탄성 범위에서 중립축으로부터의 거리에 비례한다.
• 휨모멘트: 보 단면을 휘게 하는 내력 모멘트다. 단순보의 최대 휨모멘트는 하중 형태와 지간으로 정해진다.
• 단면계수: 단면2차모멘트를 중립축에서 연단까지 거리로 나눈 값이다. 최대 휨응력 계산에 쓴다.
• 단면2차모멘트: 단면의 형상이 휨에 저항하는 정도를 나타낸다. 처짐과 휨응력 모두를 지배한다.
• 중립축: 휨 변형에서 길이 변화가 0인 축이다. 휨응력이 0인 축과 일치한다.
• 처짐: 하중에 의해 부재 축이 원래 위치에서 내려간 변위다. 사용성 검토의 대표 항목이다.
• 탄성계수: 응력과 변형률의 비례 상수다. 처짐 계산식에서 강재의 강성을 나타낸다.
• 사용성 한계상태: 처짐, 진동, 균열 등 정상 사용 상태의 기능을 확보하는 한계 상태다.

이 여덟 개 키워드는 본 절 전체에서 반복된다. 휨응력은 강도 검토, 처짐은 사용성 검토에 대응한다는 점을 구분해 둔다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 보는 바닥의 하중을 기둥이나 벽으로 옮겨 주는 가로 부재다. 하중을 받으면 위쪽 면은 눌려 짧아지고 아래쪽 면은 늘어난다. 그 사이에 길이가 변하지 않는 면이 생기는데, 이것이 중립축이다. 중립축을 기준으로 위와 아래의 응력이 부호를 달리하며 커진다.

정식 정의는 다음과 같다. 휨재는 축에 수직인 하중이나 단부 모멘트를 받아 휨 변형이 생기는 부재다. 단면에 작용하는 휨모멘트 M에 의해 중립축으로부터 거리 y인 점에 수직응력이 생기며, 이를 휨응력이라 한다. 평면보존(Bernoulli) 가정과 재료의 선형탄성 거동을 가정하면 다음 식이 성립한다.

$\sigma = \frac{M y}{I}$

여기서 σ는 휨응력(MPa), M은 휨모멘트(N·mm), y는 중립축에서 해당 점까지 거리(mm), I는 중립축에 대한 단면2차모멘트(mm⁴)다. 최대 휨응력은 y가 최대인 연단에서 생기므로 σ_max = M/S 로 계산한다. 여기서 S는 단면계수(mm³)이며 S = I/y_max 이다.

처짐은 탄성곡선의 미분방정식으로 구한다. 곡률은 휨모멘트에 비례하므로 EI d²y/dx² = M(x) 가 된다. 이 식을 두 번 적분하고 지지조건을 대입하면 처짐 y(x)가 나온다. 단순보에 등분포하중 w가 작용하면 최대처짐은 지간 중앙에서 생기며 다음 식으로 구한다.

$\delta_{max} = \frac{5wL^4}{384EI}$

여기서 w는 N/mm, L은 mm, E는 탄성계수(MPa), I는 단면2차모멘트(mm⁴)다. 처짐은 L의 네제곱에 비례하고 I에 반비례하므로, 지간이 길어질수록 처짐이 급격히 커진다.

하중 조건에 따라 최대처짐 식이 달라진다. 답안에는 아래 표를 기준으로 쓴다.

위 표의 두 식은 같은 강성 EI를 쓴다. 따라서 같은 지간에서 등분포하중과 집중하중의 처짐 비는 하중 크기와 지간 조건으로 결정된다.

사용성 검토는 처짐의 허용 한계와 비교한다. 문제에서 주어진 처짐 제한 L/300을 쓰면 검토식은 δ_max ≤ L/300 이다. 이 조건을 만족하지 못하면 단면2차모멘트를 키우거나 지간을 줄여야 한다.

연성이 큰 강재는 항복 후에도 변형이 계속 커지므로 탄성 휨응력만으로는 강도를 설명하기 어렵다. 전체 단면이 항복 응력 Fy에 도달했을 때의 휨강도를 소성모멘트 Mp라 하며 Mp = Fy·Z 이다. 여기서 Z는 소성단면계수(mm³)다.

3. 등장 배경과 필요성

강재는 콘크리트에 비해 단위 면적당 강도가 훨씬 높다. 그래서 같은 하중을 받는 보를 더 얇고 가볍게 만들 수 있다. 그러나 단면이 얇아지면 응력 검토에서는 여유가 남아도 처짐이 설계를 지배하는 경우가 많다. 강도 검토만으로는 이 문제를 잡을 수 없으므로 사용성 검토를 별도로 두게 되었다.

과거 허용응력설계법은 응력 한계만으로 부재를 정했다. 현행 강구조 부재 설계기준(KDS 14 31 10)은 하중저항계수설계법을 쓴다. 이 방식에서 휨 강도는 공칭강도에 저항계수를 곱해 검토하고, 사용 상태의 처짐은 별도의 사용성 한계로 검토한다. 두 검토가 분리되어 있다는 점이 현행 체계의 특징이다.

휨응력과 처짐이 필요한 이유는 다음과 같다.

• 과대 응력은 항복과 국부좌굴을 일으켜 구조 안전을 해친다.
• 과대 처짐은 마감재 균열, 배수 불량, 유리 파손 등 기능 장애를 일으킨다.
• 과대 처짐은 사람이 느끼는 진동과 불안감의 원인이 된다.
• 두 검토를 함께 해야 단면 치수를 경제적으로 정할 수 있다.

특히 처짐은 단면2차모멘트에 반비례하므로, 같은 단면을 쓰더라도 축 방향 배치(x축, y축)에 따라 결과가 달라진다. 이 때문에 단면을 고를 때 어느 축에 대한 값을 쓰는지 먼저 확인해야 한다. 기출 문제에서 H형강의 x축 휨을 묻는 것도 이 이유다.

강구조 보 설계의 출발점은 이 두 검토를 모두 만족하는 단면을 찾는 것이다. 이후 절에서 다룰 구성요소, 기준 수치, 계산 예제는 이 기본 원리를 바탕으로 한다.

4. 구성요소·원리·절차

보 휨응력과 처짐은 하중이 보에 작용할 때 단면에 생기는 휨응력과 부재가 굽어 생기는 처짐을 함께 검토하는 설계 절차다. 두 값은 서로 다른 한계상태를 본다. 휨응력은 강도 한계상태, 처짐은 사용성 한계상태에 대응한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

휨응력은 단면이 탄성 범위에 있을 때 중립축으로부터 거리 y에서 σ = My/I로 구한다. 최대 휨응력은 최외단에서 생기며 σ_max = M/S 이다. 단순보에 등분포하중 w가 작용하면 최대 휨모멘트는 지점 간 중앙에서 M_max = wL²/8 이다. 중앙 처짐은 δ = 5wL⁴/(384EI) 이다. 처짐은 하중에 비례하고 스팬의 4제곱에 비례하므로 스팬 증가에 가장 민감하다.

처짐은 스팬의 네제곱, 단면 2차모멘트에 반비례한다

휨응력 검토 절차는 다음과 같다.

• 등분포하중 w와 스팬 L로 최대 휨모멘트 M_max를 구한다.
• 단면의 단면계수 S(또는 Z)를 산정한다.
• 최대 휨응력 σ = M_max/S 를 계산한다.
• 항복강도 Fy와 비교하여 항복 여부를 판정한다. 탄성 설계에서는 σ ≤ Fy 이면 항복하지 않은 것으로 본다.

처짐 검토 절차는 다음과 같다.

• 단면 2차모멘트 I와 탄성계수 E를 확인한다.
• 최대 처짐 δ = 5wL⁴/(384EI) 를 계산한다.
• 허용 처짐 δ_a = L/300 과 비교한다.
• δ ≤ δ_a 이면 처짐 조건을 만족한다.

강재 보는 휨 모멘트가 커지면 단면 내부까지 항복이 진행된다. 전 단면이 항복하면 소성모멘트 Mp = Fy·Z 에 도달한다. 소성단면계수 Z는 단면계수 S보다 크다. 따라서 소성 모멘트는 탄성 한계 모멘트보다 큰 강도 여유를 준다. 이 여유는 형상계수 Z/S 로 나타낸다.

5. 관련 법령·기준·표준

강구조 휨재 설계는 「건축구조기준」과 강구조 부재 설계기준 KDS 14 31 10 을 따른다. 설계 강도는 공칭강도에 저항계수 Φ를 곱하여 구한다. 휨 부재의 저항계수는 KDS 14 31 10 기준이 정한 값을 쓴다. 처짐의 허용 한계는 사용성 기준에 따라 정하며, 이 문항에서는 주어진 제한값 L/300 을 적용한다.