사축휨응력

왜 배우는가: 사축휨은 보 단면의 주축과 하중 방향이 일치하지 않을 때 발생하는 2축 휨 문제로, 경사 하중을 받는 보·데크 거더·지붕 보 설계에서 매번 마주친다. 시험에서는 응력 산정과 2축 휨 검토가 함께 묻혀 반복 출제된다.

출제 이력: 제131회 3교시 2번, 제127회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

사축휨(Unsymmetrical Bending)은 하중이 단면의 주축(principal axis)과 일치하지 않는 평면 안에서 작용하여, 단면에 두 주축 방향의 휨모멘트가 동시에 생기는 휨 상태다.

하중 방향이 주축과 어긋나 두 축 휨모멘트가 동시에 작용하는 휨이다

핵심 키워드

• 사축휨: 하중이 주축에 나란하지 않은 경사 방향으로 작용하는 휨
• 주축: 단면의 주단면2차모멘트가 되는 두 직교축(강축·약축)
• 중립축: 휨응력이 0이 되는 선, 사축휨에서는 하중 방향과 일치하지 않음
• 2축 휨: 두 주축 방향 휨모멘트가 함께 작용하는 상태
• 단면계수: 축별 휨응력 산정에 쓰는 S_x, S_y
• 합성 응력: 두 축 휨응력의 대수적 합
• 도심: 하중 작용선과 단면 특성 기준점
• 경사 하중: 주축에 대해 각도를 갖는 하중

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 보가 세워진 방향으로만 휘지 않고 옆으로도 같이 휘는 상태다. 경사진 지붕 보나 기울어진 하중을 받는 보가 대표적이다.

정식 정의는 다음과 같다. 사축휨은 하중 작용면이 단면의 주축을 포함하지 않을 때 생기는 휨이며, 단면 위치 (x,y)의 휨응력은 두 축 휨모멘트의 합으로 구한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다.

주축은 단면의 도심을 지나며 단면상승모멘트(상승 단면2차모멘트)가 0이 되는 직교축이다. 강축과 약축이 여기에 해당한다. 일반적인 H형강은 주축이 웨브·플랜지 방향과 일치한다.

중립축은 휨응력이 0인 선이다. 순수 휨에서는 중립축이 하중 방향과 수직이지만, 사축휨에서는 중립축이 하중 방향과 일치하지 않고 기울어진다. 따라서 최대 응력 위치도 중립축에서 가장 먼 모서리로 바뀐다.

응력 산정의 기본식은 다음과 같다.

$\sigma = \frac{M_x}{S_x} + \frac{M_y}{S_y}$

여기서 M_x, M_y는 주축 방향 휨모멘트(N·mm), S_x, S_y는 해당 축의 단면계수(mm³)다. 부호는 인장을 +, 압축을 -로 둔다.

3. 등장 배경과 필요성

실무에서 보는 대부분 정사각형·직사각형 방향 하중을 받지만, 지붕 경사보, 경사 가새 연결부, 교량 거더의 비대칭 하중에서는 하중이 주축에 맞지 않는다. 이때 주축 방향만 검토하면 약축 방향 응력을 놓쳐 부재가 과도하게 변형하거나 파괴될 수 있다.

구조 설계기준은 2축 휨을 축력과 2축 휨모멘트의 상관식으로 검토하도록 한다. 따라서 사축휨 응력을 정확히 구하는 것이 설계 안전성의 출발점이다.

사축휨이 중요한 이유는 다음과 같다.

• 약축 방향 단면계수가 강축보다 작아 약축 응력이 먼저 한계에 도달하기 쉽다.
• 경사 하중에서는 최대 응력점이 모서리에 생겨 국부 좌굴과 플랜지 항복에 영향을 준다.
• 처짐 방향이 하중 방향과 달라 변형과 측면 횡좌굴을 함께 고려해야 한다.

강축·약축 단면계수를 분리해 합산이 기본 원칙이다.

4. 구성요소·원리·절차

사축휨은 하중 방향이 단면의 주축(x, y축)과 일치하지 않아 두 축 방향의 휨모멘트가 동시에 작용하는 상태를 말한다. 응력 계산 전에 구성요소의 뜻과 단위를 정리한다.

표의 값은 주축 방향 성분으로 분해한 뒤 계산에 쓴다. 하중이 주축에 평행하면 한 축 휨으로 끝나지만, 경사 하중이면 두 성분을 모두 계산해야 한다.

사축휨 응력은 두 축 휨모멘트에 의한 응력을 중첩해서 구한다

경사 하중의 휨모멘트는 주축 성분으로 나눈다. 하중 방향각을 θ라 하면 Mx는 M cos θ, My는 M sin θ가 된다. 각 성분은 해당 축의 단면 2차모멘트로 나눠 응력을 얻는다. 단면 내 임의점의 수직응력은 다음과 같다.

$\sigma = \frac{M_x}{I_x}\,y + \frac{M_y}{I_y}\,x$

여기서 σ는 수직응력(N/mm²), y와 x는 도심에서 응력점까지 거리(mm)다. 인장과 압축의 부호는 각 성분이 만드는 응력 방향을 따라 정한다. 중첩된 결과에서 응력이 0이 되는 선이 중립축이다. 이 선은 하중 방향과 직교하지 않는다. 기울기는 다음과 같다.

$\tan\alpha = \frac{I_x}{I_y}\tan\theta$

여기서 α는 x축에 대한 중립축 각, θ는 하중 방향 각이다. 강축 Ix가 약축 Iy보다 큰 H형강에서는 중립축이 하중 방향보다 강축 쪽으로 더 기울어진다. 이 때문에 최대 응력 위치가 단면 모서리 한 점으로 몰린다.

사축휨 응력도 탄성 범위에서는 중첩으로 구한다. 대칭 H형강은 모서리에서 최대가 되므로, 단면계수로 간단히 쓰면 다음과 같다.

$\sigma_{max} = \frac{M_x}{S_x} + \frac{M_y}{S_y}$

이 식은 두 축 모두 연단에서 최대가 되는 경우에 성립한다. 같은 모서리에서 두 성분의 부호가 같으면 절댓값이 합쳐진다. 부호가 다르면 차이가 된다. 따라서 4개 모서리 값을 모두 비교해야 최대 응력과 위치를 정확히 찾는다.

설계에서는 응력을 허용값과 비교하는 대신 강도로 검토한다. 한계상태설계법에서 두 축 휨을 받는 부재는 축별 설계휨강도를 구한 뒤 상관식으로 검토한다. 절차는 다음과 같다.

• 계수하중을 구하고 x, y 방향 계수 휨모멘트 Mux, Muy를 산정한다.
• 단면성능 Ix, Iy, Sx, Sy, Zx, Zy를 정리한다.
• 모서리 4점에서 수직응력을 중첩하고 최대값과 위치를 찾는다.
• 강축 휨에 대해 횡좌굴을 고려한 설계휨강도 φbMnx를 구한다.
• 약축 휨에 대해 설계휨강도 φbMny를 구한다.
• 두 축 휨비의 합으로 2축 휨 안전성을 판정한다.

5. 관련 법령·기준·표준

사축휨 검토의 기준은 건축물 강구조 설계기준(KDS 41 30 10)이다. 이 기준은 한계상태설계법에 따라 강재 부재의 저항강도를 정한다. 구 허용응력설계법 기준인 KDS 14 30 00과는 설계 체계가 다르므로 구분해 써야 한다.

강축 설계휨강도는 횡좌굴 한계길이로 구간을 나눈다. 비지지 길이 Lb가 소성 한계길이 Lp 이하이면 소성휨강도 Mp가 적용된다. Lb가 Lp를 넘고 탄성 한계길이 Lr 이하이면 횡좌굴이 일부 작용하는 비탄성 구간이다. Lb가 Lr을 넘으면 탄성 횡좌굴 강도가 지배한다. 탄성 한계길이는 문제 조건의 식을 따르며, rts는 Iy와 ho로 정해지는 비틀림 관련 반경이다.

약축 휨강도는 플랜지 국부좌굴이 없을 때 Mny를 소성휨강도 FyZy로 본다. 단, 상한은 1.5FySy로 둔다. 두 축 휨을 받는 부재는 아래 상관식으로 검토한다.

$\frac{M_{ux}}{\phi_b M_{nx}} + \frac{M_{uy}}{\phi_b M_{ny}} \le 1.0$

2축 휨 검토는 두 축 휨비의 합이 1.0 이하인지로 판정한다