철근콘크리트 보 즉시처짐

왜 배우는가: 철근콘크리트 보의 즉시처짐은 사용성 검토의 기본값이라 설계 실무에서 매번 계산되며, 활하중에 의한 처짐 한도와 유효단면2차모멘트 개념이 함께 묻기 때문에 시험에서 반복 출제된다. 단근 장방형보와 T형보의 계산 차이를 이해해야 두 문항을 모두 풀 수 있다.

출제 이력: 제94회 2교시 2번, 제92회 3교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

철근콘크리트 보의 즉시처짐은 하중을 가하는 순간 발생하는 탄성 처짐으로, 콘크리트의 균열 여부를 반영한 유효단면2차모멘트를 사용해 계산한다.

즉시처짐은 하중 재하 직후 탄성 해석으로 구한 처짐이며 유효단면2차모멘트로 계산한다

키워드: 즉시처짐, 유효단면2차모멘트, 균열단면2차모멘트, 총단면2차모멘트, 균열모멘트, 탄성계수비, 활하중 처짐 한도, T형보 유효폭

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 보에 짐을 올린 순간 보가 얼마나 휘는지를 계산하는 것이다. 처짐은 사용 중 사람이 불편을 느끼거나 마감재가 손상되는 것을 막기 위해 제한한다.

정식으로는 탄성 이론의 처짐 식에 보의 휨강성 EI를 넣어 구한다. 콘크리트는 인장측에서 균열이 생기므로 전 단면이 항상 유효하지 않다. 그래서 실제 강성은 유효단면2차모멘트로 보정한다.

핵심 용어 풀이는 다음과 같다.

• 총단면2차모멘트 I_g: 균열을 무시한 콘크리트 전 단면의 단면2차모멘트다.
• 균열단면2차모멘트 I_{cr}: 인장측 콘크리트를 무시하고 철근과 압축콘크리트만으로 계산한 값이다.
• 균열모멘트 M_{cr}: 인장연단 응력이 콘크리트 휨인장강도 f_r에 도달하는 휨모멘트다. 식은 M_{cr}=f_r I_g / y_t이며, f_r=\lambda\sqrt{f_{ck}} (MPa)를 쓴다(보통중량 콘크리트 λ=1.0).
• 유효단면2차모멘트 I_e: 균열 전후의 강성을 모멘트 크기에 따라 보간한 값이다. 식은 I_e=(M_{cr}/M_a)^3 I_g+[1-(M_{cr}/M_a)^3]I_{cr} \le I_g이다.
• 탄성계수비 n: 철근과 콘크리트의 탄성계수 비 E_s/E_c다.

유효단면2차모멘트는 총단면을 넘을 수 없다

3. 등장 배경과 필요성

초기 설계는 강도만 검토했으나, 고강도 콘크리트와 얇은 보가 늘면서 사용성 문제가 많아졌다. 보가 강도는 충분해도 처짐이 커서 천장 균열이나 문 개폐 불량이 생기는 사례가 보고되었다.

이에 따라 처짐을 강도와 별도로 제한하는 규정이 도입되었다. 콘크리트 구조 설계기준은 처짐 계산을 위해 균열 영향을 반영한 유효강성 개념을 쓰도록 정하고 있다.

즉시처짐과 장기처짐을 구분하는 이유도 여기에 있다. 즉시처짐은 하중 재하 직후 탄성 해석으로 구하고, 장기처짐은 크리프와 건조수축을 더해 별도로 구한다. 시험에서는 두 값을 합산하는지, 활하중에 의한 처짐만 보는지를 문항 조건으로 구분해야 한다.

처짐 검토는 사용성 한도 검토이며 활하중 처짐과 전체 처짐을 구분해야 한다

4. 구성요소·원리·절차

철근콘크리트 보의 즉시처짐은 하중이 가해지는 순간 단면이 탄성 거동하며 생기는 처짐이다. 콘크리트의 인장 균열 여부에 따라 유효단면2차모멘트가 달라지므로, 처짐 계산은 균열 영향을 반영한 유효단면2차모멘트를 구하는 것에서 시작한다. 균열 전 총단면2차모멘트 I_g와 균열 단면의 단면2차모멘트 I_{cr}을 균열모멘트 비율로 보간하는 방식이 설계기준의 기본 원리다.

표 설명: 균열 발생 전에는 전 단면이 유효하므로 강성이 크다. 균열이 진행할수록 인장 콘크리트의 기여가 사라져 강성이 낮아진다. 이 두 극단을 보간한 것이 유효단면2차모멘트다.

균열모멘트는 다음 식으로 구한다.

$M_{cr}=\frac{f_r I_g}{y_t}$

여기서 f_r은 콘크리트 파괴계수(휨인장강도), y_t는 图심에서 인장연단까지 거리다. 보의 처짐 계산에서 실제 작용 모멘트 M_a가 M_{cr}보다 크면 균열이 발생한 것으로 보고 보간식을 적용한다.

유효단면2차모멘트 식은 다음과 같다.

$I_e=\left(\frac{M_{cr}}{M_a}\right)^3 I_g+\left[1-\left(\frac{M_{cr}}{M_a}\right)^3\right]I_{cr}\le I_g$

M_a는 처짐을 계산하는 단면의 최대 휨모멘트(사용하중 상태), I_g는 총단면2차모멘트, I_{cr}은 균열단면2차모멘트다. 지수 3은 보간 거동을 설계기준이 정한 값이다.

단순보나 연속보처럼 최대 모멘트 위치가 한 곳이 아닌 부재는 단부와 중앙부의 I_e를 따로 구하고 중앙부 값을 가중하여 평균 유효단면2차모멘트를 쓴다.

$I_{e,avg}=\alpha\,I_{e,m}+\beta\,(I_{e1}+I_{e2})$

I_{e,m}은 정모멘트 구간(중앙부) 유효단면2차모멘트, I_{e1}, I_{e2}는 양 단부의 부모멘트 구간 유효단면2차모멘트다. α, β는 관련 기준이 정한 가중계수다. 한쪽 단부만 있는 캔틸레버 같은 경우에는 이 가중식을 쓰지 않는다.

즉시처짐 계산 절차

• 사용하중에 의한 단면력(최대 모멘트 M_a)을 구한다.
• 총단면2차모멘트 I_g와 균열 단면의 I_{cr}을 계산한다.
• 균열모멘트 M_{cr}=f_rI_g/y_t를 구하고 M_a와 비교한다.
• 각 위치별 I_e를 보간식으로 구한다.
• 부재 형식에 따라 평균 유효단면2차모멘트를 구한다.
• 탄성 처짐 공식에 E_cI_e를 대입하여 즉시처짐 \delta_i를 구한다.

예를 들어 단순보에 등분포 활하중 w가 작용하면 중앙 처짐은 \delta_i=\dfrac{5wL^4}{384E_cI_e}다. 여기서 w는 활하중 강도(N/m), L은 경간(m), E_c는 콘크리트 탄성계수(MPa), I_e는 유효단면2차모멘트(mm⁴)다. 단위를 N과 mm로 맞추면 처짐은 mm 단위로 나온다.

5. 관련 법령·기준·표준

철근콘크리트 보의 처짐은 콘크리트구조 설계기준(KDS 14 20 00 계열)과 건축구조기준(KDS 41 계열)이 정한다. 설계기준은 최소 두께(처짐 검토 생략 조건)와 허용처짐 한도를 함께 규정한다. 기준 이름은 현행 KDS 체계로 쓰고, 옛 KBC2009 기준은 구 명칭으로 참고만 한다.

표 설명: 활하중 즉시처짐 한도는 경간 L에 대한 비율로 정한다. 평면 치수가 큰 건물에서는 이 한도가 설계를 지배하는 경우가 많다. 계수값과 한도 비율은 기준 개정에 따라 바뀔 수 있으므로 설계 시 해당 개정판을 확인한다.

처짐 검토는 최소 두께 규정을 만족하면 생략할 수 있다. 단순지지 보의 최소 두께는 관련 기준이 정한 경간비 수준으로 정해져 있고, 양단 연속 보는 그보다 완화된 경간비를 쓴다. 이 값은 철근 항복강도 조건에 따른 기준이며, 다른 강도는 보정식을 쓴다.

개정 연혁으로는 강도설계법 체계에서 처짐 계산에 유효단면2차모멘트 식을 명시한 이후 기준이 유지되고 있다. 소방이나 전기처럼 법령이 바뀐 분야와 달리, 이 항목은 기준서 내 식과 한도 체계가 중심이다.

6. 유형과 비교

철근콘크리트 보의 즉시처짐은 하중 재하 직후 발생하는 탄성 처짐이다. 계산 방법은 유효단면 2차모멘트(Effective Moment of Inertia)를 기준으로 하는 방법과 부재 형상에 따라 단면을 나누는 방법으로 구분한다. 실무 설계에서는 부재의 단부와 중앙부 균열 상태가 다르므로 단면 조건에 맞는 방법을 골라 적용한다.