관로 마찰손실

왜 배우는가: 관로 마찰손실은 펌프 양정과 배관 압력 설계를 정하는 기본 값이라 실무에서 매번 계산된다. 무디선도와 다르시-바이스바흐 식은 시험에서 반복해 나오는 핵심 도구이므로, 공식의 의미와 적용 조건을 함께 알아야 한다.

출제 이력: 제128회 4교시 4번, 제125회 4교시 2번, 제122회 3교시 1번, 제92회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

관로 마찰손실은 점성에 의해 관벽에서 생기는 길이 방향의 수두 손실이다. 유체가 관 내벽과 접하며 전단응력을 받으면 운동에너지 일부가 열로 바뀌어 소산되고, 그 결과 관을 따라 압력과 수두가 떨어진다. 이 손실은 관 길이에 비례하므로 곡관·급확대·급축소 같은 국부 부위의 손실과 구분하여 주손실(major loss)이라고 부른다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 마찰계수(friction factor): 레이놀즈 수와 상대조도의 함수로 정해지는 무차원 계수이다.
• 레이놀즈 수(Reynolds number): 관성력과 점성력의 비로 유동 상태를 구분하는 무차원수이다.
• 상대조도(relative roughness): 관 내면 거칠기 ε를 관경 D로 나눈 무차원 값이다.
• 다르시-바이스바흐 식(Darcy-Weisbach equation): 마찰수두를 속도수두와 관 길이로 나타내는 기본식이다.
• 층류(laminar flow): 유체가 층을 이루어 질서 있게 흐르는 유동이다.
• 난류(turbulent flow): 소용돌이가 섞이며 불규칙하게 흐르고 에너지 손실이 큰 유동이다.
• 무디선도(Moody diagram): 마찰계수를 레이놀즈 수와 상대조도에 대해 그린 선도이다.
• 주손실(major loss): 직관 길이에 비례하여 생기는 마찰손실이다.

2. 개념 풀이

정식 정의는 다음과 같다. 비압축성 유체가 내경 D, 길이 L인 원형관을 평균속도 V로 흐를 때 마찰에 의한 수두 손실 h_f는 다르시-바이스바흐 식으로 구한다. 이 식의 마찰계수 f는 이론식 하나로 바로 정해지지 않고, 해석과 실험을 거쳐 정해지는 값이다.

$h_f = f · (L/D) · V²/(2g)$

여기서 f는 마찰계수로 무차원수이고, L은 관 길이(m), D는 관 내경(m), V는 평균유속(m/s), g는 중력가속도(9.8m/s²)이다. 수두 h_f는 압력으로 환산하여 Δp = ρ·g·h_f로 쓸 수 있으며, ρ는 유체 밀도(kg/m³)이다.

원리는 관벽 근처의 속도 구배에서 시작한다. 관벽 근처에서는 유속이 0에 가까워져 속도 구배가 커지므로 점성에 의한 전단응력이 생긴다. 이 전단응력이 유체의 운동에너지를 열로 바꾸는 일을 하고, 그 몫만큼 압력과 수두가 줄어든다. 직관은 단면적이 일정하여 평균속도가 변하지 않으므로, 압력강하 전체가 마찰손실로 나타난다. 식의 구조를 보면 속도수두 V²/2g에 상대 길이 L/D를 곱하고 마찰계수 f를 곱한다. 따라서 길이가 두 배가 되면 손실도 두 배가 되고, 관경이 작아지면 손실이 커진다.

마찰계수 f는 레이놀즈 수 Re = ρVD/μ = VD/ν와 상대조도 ε/D의 함수이다. 여기서 μ는 점성계수(Pa·s), ν는 동점성계수(m²/s), ε는 관 내면 거칠기(m)이다. 마찰계수 f는 레이놀즈 수와 상대조도의 함수이다. 층류에서는 관벽 거칠기가 영향을 주지 않으므로 f = 64/Re로 정해진다(Hagen-Poiseuille). 층류는 관련 기준이 정한 레이놀즈 수 이하, 난류는 Re 약 4,000 이상에서 나타나며, 그 사이는 천이 영역이다.

난류에서 마찰계수 f는 Colebrook 식으로 구한다. 이 식은 f가 양변에 함께 있는 음함수이므로 반복 계산이 필요하다.

$1/√f = -2 log₁₀( (ε/D)/3.7 + 2.51/(Re·√f) )$

난류에서는 Re뿐 아니라 상대조도 ε/D도 f에 영향을 준다. 같은 Re에서 관이 거칠수록 f가 커지며, 매끈한 관에서는 상대조도 영향이 작아 Re의 함수로 근사된다. 실무에서는 이 값을 무디선도에서 읽는다. 무디선도는 가로축에 레이놀즈 수, 세로축에 마찰계수를 로그 눈금으로 그리고 상대조도별 곡선군을 나타낸 선도이다. 층류 구간에서는 모든 곡선이 f = 64/Re 직선 하나로 겹치고, 난류 구간에서는 상대조도마다 곡선이 나뉜다. Re가 충분히 커지면 곡선이 수평에 가까워지는 완전 거친관 영역이 나타나며, 이때 f는 Re와 무관하다.

3. 등장 배경과 필요성

관로 저항은 초기에 개별 실험식으로 흩어져 다뤄졌다. 이후 Darcy와 Weisbach가 관로 손실을 속도수두의 함수로 통일하여 정리하면서, 관경·길이·유속·조도만 알면 손실을 계산할 수 있는 체계가 갖춰졌다. 현재는 다르시-바이스바흐 식이 비압축성 유체의 관로 손실을 구하는 기본식으로 쓰인다.

손실은 관로 자체에서 생기는 주손실과 곡관·확대·축소 같은 부속부에서 생기는 부차적 손실로 나뉜다. 전체 손실수두는 두 손실의 합이며, 관로가 짧고 곡관이 많으면 부차적 손실이 주손실을 넘을 수 있다. 따라서 설계에서는 마찰손실만 보지 않고 부속부 수까지 함께 센다.