복합 정하중 축 설계

왜 배우는가: 복합 정하중 축 설계는 동력전달축의 파손을 막는 기본 계산이며, 축 설계 문항에서 응력 합성과 강도 이론 선택을 직접 묻는 주제이다.

출제 이력: 제135회 3교시 5번, 제132회 4교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

복합 정하중 축 설계는 굽힘·비틀림·축하중이 동시에 작용하는 축의 응력을 합성하여 필요한 축지름을 정하는 설계이다.

이 정의는 답안지 첫 줄에 그대로 옮겨 쓸 수 있는 문장이다. 동력전달축은 하중 조건이 단순하지 않으므로 아래 키워드의 뜻을 먼저 구분해 두어야 계산 순서가 흐트러지지 않는다. 굽힘모멘트와 비틀림모멘트는 축에 작용하는 하중의 종류이고, 상당 모멘트는 이 하중들을 합성해 얻은 계산값이라는 점을 구분한다.

핵심 키워드

• 동력전달축: 회전하며 동력을 전달하고, 주로 비틀림모멘트를 받는 축이다.
• 축하중: 축 방향으로 작용하는 인장 또는 압축 하중이다.
• 굽힘모멘트: 기어와 풀리의 힘, 축 자중이 만드는 모멘트로 굽힘응력을 일으킨다.
• 비틀림모멘트: 토크에 해당하며 축에 전단응력을 일으킨다.
• 상당 굽힘모멘트: 굽힘과 비틀림을 합성하여 굽힘만 받을 때와 같은 응력 효과로 환산한 값이다.
• 상당 비틀림모멘트: 굽힘과 비틀림을 합성하여 비틀림만 받을 때와 같은 전단응력 효과로 환산한 값이다.
• 전단응력설과 최대주응력설: 각각 연성재료와 취성재료의 파손을 판정하는 강도 이론이다.

2. 개념 풀이

복합 정하중 축 설계란 축에 굽힘모멘트 M, 비틀림모멘트 T, 축하중 P가 함께 작용할 때 하중별 응력을 구한 뒤 강도 이론으로 합성하여 축지름 d를 정하는 설계 방법이다. 기본 계산은 정하중을 대상으로 하며, 충격이나 변동이 큰 조건에서는 충격계수로 하중을 보정한다.

이 방법은 재료가 파손되는 방식의 차이에서 출발한다. 연성재료는 최대 전단응력이 항복을 지배하고, 취성재료는 최대 인장 주응력이 파단을 지배한다. 그래서 두 재료를 하나의 식으로 계산하지 않고 강도 이론을 나누어 적용한다. 설계자는 재료의 성질을 먼저 정한 뒤 그에 맞는 이론을 고른다.

원리를 보면, 원형 축의 한 단면에서 축하중과 굽힘에 의한 수직응력 σ와 비틀림에 의한 전단응력 τ가 동시에 생긴다. 수직응력 성분은 같은 방향이므로 더하고, 전단응력은 비틀림에서만 생기므로 따로 계산한다. 원형 중실축의 응력은 다음 식으로 쓴다.

$\sigma = \frac{4P}{\pi d^2} + \frac{32M}{\pi d^3}, \quad \tau = \frac{16T}{\pi d^3}$

σ는 수직응력(MPa), τ는 전단응력(MPa), P는 축하중(N), M은 굽힘모멘트(N·mm), T는 비틀림모멘트(N·mm), d는 축지름(mm)이다. 축하중 항은 \frac{4P}{\pi d^2} = \frac{32}{\pi d^3}\cdot\frac{Pd}{8}로 바꿀 수 있으므로, 축하중을 굽힘모멘트에 \frac{Pd}{8}만큼 더한 값으로 환산할 수 있다.

재료에 따라 파손 판정 기준이 달라진다. 연성재료는 전단응력설을 적용한다. 연성재료에서 상당 비틀림모멘트는 T_e = \sqrt{M^2+T^2}이다. 이 값을 허용전단응력 \tau_a에 대입하면 축지름은 d = \sqrt[3]{\frac{16T_e}{\pi\tau_a}}로 구한다.

취성재료는 최대주응력설을 적용한다. 취성재료에서 상당 굽힘모멘트는 M_e = \frac{1}{2}(M+\sqrt{M^2+T^2})이다. 이 값을 허용굽힘응력 \sigma_a에 대입하면 축지름은 d = \sqrt[3]{\frac{32M_e}{\pi\sigma_a}}로 구한다. 두 식 모두 굽힘응력과 전단응력을 합성한 최대 응력이 허용응력과 같아지는 조건에서 유도된다. 굽힘과 비틀림이 제곱합 형태로 묶이는 것이 이 식의 핵심이다.

축하중이 클 때는 M' = M + \frac{Pd}{8}를 굽힘모멘트 M 대신 대입한다. 이때 d가 식의 양변에 모두 들어 있으므로 가정한 지름으로 계산한 뒤 반복하여 값을 수렴시킨다. 축하중이 작아 굽힘 항에 비해 무시할 수 있는 경우에는 M을 그대로 쓴다.

동하중을 받는 축은 굽힘모멘트와 비틀림모멘트에 각각 충격계수 K_m, K_t를 곱하여 보정한 뒤 위 식을 적용한다. 보정된 상당 모멘트는 T_e = \sqrt{(K_m M)^2 + (K_t T)^2} 형태로 쓰며, 정하중 계산 결과를 그대로 쓰면 충격에 의한 파손을 과소 평가하게 된다.

3. 등장 배경과 필요성

건설기계의 동력전달축은 기어, 풀리, 스프로킷 같은 전동 요소를 통해 동력을 주고받는다. 이때 토크가 축에 비틀림을 일으키고, 전동 요소가 받는 힘이 축에 굽힘을 일으킨다. 기어가 있는 축에서 피치원 지름 d_p에서의 접선력은 F_t = 2T/d_p이다. 이 힘과 축 자중이 굽힘을 만들고, 축 방향으로 작용하는 하중은 축하중이 된다. 즉 한 축이 굽힘, 비틀림, 축하중을 동시에 받는 것이 일반적인 설계 조건이다.