등방성 탄성재료 훅의 법칙과 탄성계수

왜 배우는가: 훅의 법칙과 탄성계수는 부재의 응력과 변형을 연결하는 기본 관계이므로, 강도 설계와 강성 설계의 출발점이 된다. 기술사 시험에서는 정의, 3축 응력 하의 변형률 식, 탄성계수 사이의 관계식 유도가 반복해서 묻는 항목이다.

출제 이력: 제135회 4교시 1번, 제89회 1교시 8번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

훅의 법칙은 탄성 범위에서 응력과 변형률이 정비례하는 관계이며, 그 비례상수가 탄성계수이다.

답안의 첫 줄에는 위 정의를 그대로 쓰고, 아래 키워드를 본문에 빠뜨리지 않는다.

• 훅의 법칙: 탄성체의 변형량과 복원력이 비례한다는 법칙이다.
• 탄성계수: 응력과 변형률의 비례상수로, 재료의 강성을 나타낸다.
• 영률(Young's modulus): 단축 인장에서 수직응력과 수직변형률의 비이다.
• 체적탄성계수: 정수압 증가량을 체적의 상대적 감소량으로 나눈 값이다.
• 푸아송 비: 횡방향 변형률과 축방향 변형률의 비에 음의 부호를 붙인 값이다.
• 푸아송 수: 푸아송 비의 역수로 정의되는 값이다.
• 전단탄성계수: 전단응력과 전단변형률의 비이다.
• 등방성 재료: 방향에 관계없이 재료의 성질이 같은 재료이다.

등방성 재료의 독립된 탄성 상수는 두 개뿐이다. 따라서 영률과 푸아송 비 두 값을 알면 전단탄성계수와 체적탄성계수를 구할 수 있다. 시험에서는 이 관계를 함께 설명해야 답안이 완성된다.

2. 개념 풀이

훅의 법칙은 탄성체가 외력을 받아 변형되면 원래 모양으로 돌아가려는 복원력이 생기고, 그 복원력의 크기가 변형의 정도에 비례한다는 법칙이다. 변형이 작은 범위에서는 응력과 변형률이 비례하며, 이 범위를 탄성 범위라고 한다. 탄성 범위를 넘으면 비례 관계가 깨지고 영구변형이 남는다.

1차원 인장에서 훅의 법칙은 σ = Eε로 쓴다.

$σ = E ε$

여기서 σ는 수직응력(Pa), ε는 무차원 변형률, E는 영률(Pa)이다. E가 클수록 같은 변형을 일으키는 데 더 큰 응력이 필요하므로 E는 재료의 강성을 나타내는 값이다. 응력과 탄성계수는 모두 압력 단위인 Pa 또는 MPa로 표시하고, 변형률은 길이의 비이므로 단위가 없다.

원리는 탄성체 내부 원자 사이의 결합력이 평형 위치 근처에서 변위에 거의 비례한다는 데 있다. 이 때문에 변형이 작을 때만 선형 관계가 성립하며, 비례 관계가 깨지는 지점이 탄성한계이다.

영률은 길이 변화에 대한 저항을, 체적탄성계수는 부피 변화에 대한 저항을, 전단탄성계수는 모양 변화에 대한 저항을 나타낸다. 세 값은 서로 다른 변형 모드를 대표하므로 한 값으로 다른 값을 대신할 수 없다.

다축 응력에서는 중첩의 원리를 적용한다. 등방성 재료는 방향에 따라 성질이 같으므로, 한 방향의 응력이 다른 방향의 변형률에 주는 영향을 푸아송 비 ν로 나타낸다. 푸아송 비는 횡방향 변형률을 축방향 변형률로 나눈 값에 음의 부호를 붙인 값이다.

$ν = −ε_t / ε_a$

ε_t는 횡방향, ε_a는 축방향 변형률이다. 인장에서 축방향 변형률이 양이면 횡방향 변형률은 음이므로, 횡방향으로 줄어드는 정도가 ν로 표시된다. 체적 변화가 없는 비압축성 재료의 푸아송 비는 0.5이다. 실제 금속은 대략 0.3 근처의 값을 가진다.

체적탄성계수 K는 정수압 증가량을 체적의 상대적 감소량으로 나눈 값이다. 식으로 쓰면 K = Δp / (−ΔV/V)이다. 부피가 전혀 변하지 않는 물질의 K는 무한대가 되며, 고무가 이 성질에 가까운 대표적인 재료이다.

세 방향 응력이 동시에 작용하면 중첩의 원리로 x방향 변형률은 다음과 같이 된다.

$ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)] / E$

y, z 방향도 같은 형태이다. 전단 변형률은 γ = τ / G로 쓰며, G는 전단탄성계수이다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물과 기계 부재는 허용응력 이하에서 사용되므로, 사용 중 변형이 작아야 기능과 안전이 유지된다. 응력과 변형을 하나의 비례 관계로 묶어 주는 훅의 법칙이 있어야 하중에 따른 처짐과 변형을 정량적으로 계산할 수 있다. 그래서 훅의 법칙은 탄성해석의 출발점이 되는 기본 법칙이다.

훅의 법칙은 17세기 영국 물리학자 로버트 훅이 용수철의 늘어남과 힘의 관계를 실험하여 정리한 법칙이다. 이후 판이나 봉의 휨처럼 다차원 변형에도 같은 원리가 적용되면서, 등방성 재료의 응력-변형률 관계로 확장되었다. 이 확장으로 세 방향 응력을 동시에 다루는 해석이 가능해졌다.

건설기계 설계에서는 붐, 프레임, 축 같은 부재의 처짐과 강성을 계산할 때 영률이 직접 쓰인다. 같은 하중이라도 E가 작은 재료는 변형이 커지므로, 설계 단계에서 강성 기준을 만족시키는 데 탄성계수가 필요하다. 이 점에서 훅의 법칙은 강도 설계와 강성 설계를 잇는 연결 고리이다. 허용응력과 허용처짐은 탄성계수를 기준으로 정하고, 안전율로 여유를 둔다.