단면계수·회전반경·극단면계수

왜 배우는가: 단면계수와 극단면계수는 굽힘과 비틀림에서 응력을 계산하는 기본 기하량이므로 보와 축의 강도 설계에 항상 쓰인다. 회전반경은 기둥의 좌굴 검토와 관성 해석에 쓰이는 값이다. 세 개념을 정의와 식으로 구분하지 못하면 계산 문제에서 같은 실수가 반복되므로, 이 문항은 세 개념을 정의와 계산으로 함께 묻는다.

출제 이력: 제126회 1교시 8번, 제89회 1교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

단면계수는 도심축에 대한 단면 2차 모멘트를 연단거리로 나눈 굽힘 강도 계수이다. 회전반경은 단면적과 단면 2차 모멘트로 정해지는 길이 값이고, 극단면계수는 축의 비틀림 강도를 나타내는 형상 계수이다. 세 값 모두 재료의 종류가 아니라 단면의 기하학적 형상으로부터 결정된다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 단면계수(Z): 굽힘 응력을 구할 때 분모로 쓰이는 단면의 형상 계수이다.
• 회전반경(k): 단면적을 한 점에 모았을 때 같은 단면 2차 모멘트를 주는 가상의 거리이다.
• 극단면계수(Zp): 비틀림 응력을 구할 때 분모로 쓰이는 단면의 형상 계수이다.
• 단면 2차 모멘트(I): 단면이 도심축 주위에 얼마나 넓게 분포하는지 나타내는 기하량이다.
• 극단면 2차 모멘트(J): 단면의 도심 한 점에 대한 2차 모멘트이다.
• 도심: 단면의 면적이 균형을 이루는 기준점이다.
• 연단거리(y): 도심에서 단면의 가장 바깥 점까지의 거리이다.

2. 개념 풀이

단면계수는 도심을 지나는 축에 대한 단면 2차 모멘트를 도심에서 가장 먼 연단까지의 거리로 나눈 값이다. 식으로 쓰면 아래와 같고 단위는 m³(또는 mm³)이다.

$Z = I / y_{max}$

단면 2차 모멘트 I는 미소 면적 dA에 도심축으로부터 거리 y의 제곱을 곱해 적분한 값이며, 도심에서 멀리 떨어진 면적일수록 기여가 커진다. 따라서 같은 면적이라도 단면을 도심에서 멀리 배치할수록 I가 커지고 단면계수도 커진다.

굽힘모멘트 M을 받는 부재의 최대 굽힘응력은 σ = M/Z로 구한다. 같은 굽힘모멘트에서 단면계수가 클수록 응력이 작게 생기므로, 단면계수는 보와 축의 굽힘 강도를 판단하는 기준이다. 도심축에 대해 단면이 대칭이면 위쪽과 아래쪽 연단까지의 거리가 같아서 최대 인장응력과 최대 압축응력의 크기가 같아진다. 단위를 mm로 넣으면 단면계수는 mm³ 단위로 나오고 응력은 N/mm²(MPa)가 된다.

지름이 d인 원형 단면에서는 I = πd⁴/64, y = d/2를 대입하여 Z = πd³/32를 얻는다. 이 값은 지름의 세제곱에 비례하므로 지름이 조금만 커져도 단면계수가 크게 늘어난다.

회전반경은 단면 2차 모멘트를 단면적으로 나눈 값의 제곱근으로 정의되는 길이이다. 회전반경은 k = √(I/A)로 구한다. 여기서 A는 단면적이며, 단위는 m 또는 mm이다. 단면적 A에 대해 I = A·k²가 성립하므로, 회전반경은 단면 전체의 면적을 한 점에 모아 같은 단면 2차 모멘트를 주는 가상의 거리이다. 지름이 d인 원형 단면의 회전반경은 k = d/4이다.

기둥에서는 회전반경이 작은 축 방향으로 좌굴이 먼저 일어난다. 따라서 두 주축 가운데 회전반경이 작은 쪽이 좌굴 검토의 기준이 된다.

극단면계수의 정의는 간단하다. 극단면계수는 극단면 2차 모멘트를 반지름으로 나눈 값이다. 여기서 극단면 2차 모멘트 J는 도심 한 점에 대한 2차 모멘트이고, 반지름은 축의 가장 바깥 반지름 r이다. J는 서로 직교하는 두 축에 대한 단면 2차 모멘트의 합, J = Ix + Iy로도 나타낸다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$Zp = J / r_{max}$

지름이 d인 원형 축에서는 J = πd⁴/32이다. 따라서 지름이 d인 원형 축의 극단면계수는 Zp = πd³/16이다. 이 값은 같은 지름 원형 단면의 단면계수 Z의 2배이다. 외경이 d₀이고 내경이 dᵢ인 중공축의 극단면계수는 Zp = π(d₀⁴ − dᵢ⁴)/(16d₀)이다.

비틀림 모멘트 T를 받는 원형 축의 비틀림 전단응력은 τ = T/Zp로 계산된다. 동력축의 직경을 d라 하면 τ = 16T/(πd³)이 되어, 극단면계수가 클수록 같은 토크에서 전단응력이 작아진다. 비틀림 전단응력은 축 중심에서 0이고 바깥 표면에서 최대가 된다. 굽힘응력은 단면계수로, 비틀림 전단응력은 극단면계수로 계산한다는 점이 두 값의 차이이다.

3. 등장 배경과 필요성

재료역학에서 부재의 응력은 하중과 단면의 기하학적 성질로 결정된다. 보의 굽힘과 축의 비틀림을 각각 간단한 식으로 계산하려면 단면의 형상 효과를 하나의 값으로 정리한 계수가 필요하였고, 그 역할을 맡은 것이 단면계수와 극단면계수이다.

단면 2차 모멘트는 굽힘 변형과 처짐을 판단하는 강성의 척도이다. 그러나 연단에서 응력을 구하려면 단면 2차 모멘트를 연단거리로 한 번 더 나누어야 하고, 이 결과가 단면계수이다. 즉 단면 2차 모멘트가 강성을 나타내는 값이라면 단면계수는 강도를 나타내는 값이다.