기어 맞물림 원리

왜 배우는가: 기어는 축 사이의 회전을 일정한 속도비로 전달하는 대표 요소이며, 감속기·변속기·선회장치 설계의 출발점이다. 각속도비가 흔들리면 진동·소음·치면 손상이 생기므로 원리와 조건을 정확히 답안에 쓸 수 있어야 한다. 여러 교시에서 기본 개념으로 묻는 주제이다.

출제 이력: 제98회 2교시 6번, 제93회 3교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

기어 맞물림 원리는 접촉하는 치면의 공통 법선이 항상 두 축 중심선 위의 같은 점(피치점)을 지나도록 하여 두 기어의 각속도비를 일정하게 유지하는 원리이다. 핵심 키워드는 다음과 같다.

• 피치점: 치형 접촉점의 공통 법선이 두 기어의 중심선을 나누는 점이다.
• 피치원: 피치점을 지나며 두 기어가 미끄럼 없이 구른다고 보는 가상의 원이다.
• 각속도비: 두 기어 각속도(ω)의 비로, 피치원 지름의 역비와 같다.
• 공통 법선: 접촉하는 두 치형의 접점에서 그은 법선이며 힘의 작용선이 된다.
• 공액 치형: 기어의 기본 법칙을 만족하는 치형의 짝이다.
• 인벌류트 곡선: 기초원에서 실을 풀 때 실 끝이 그리는 곡선으로, 대표적인 기어 치형이다.

2. 개념 풀이

정식 정의는 다음과 같다. 한 쌍의 기어가 치면에서 접촉하며 회전할 때, 접촉점에서 두 치형에 그은 공통 법선이 두 회전축의 중심선과 만나는 점이 항상 같은 위치에 머무르면 두 기어의 각속도비는 일정하다. 이 조건을 만족하는 치형의 짝을 공액 치형이라 한다. 치형을 설계한다는 것은 결국 이 조건을 만족하는 곡선을 고르는 일이다. 원리를 풀면 다음과 같다. 접촉한 두 치면 사이의 힘은 공통 법선 방향으로만 전달되므로, 이 법선이 중심선과 만나는 점이 두 기어 사이 힘 전달의 기준점이 된다. 이 점을 피치점(P)이라 하며, 두 축 중심 O1, O2에서 P까지의 거리가 각 기어의 피치원 반지름 R1, R2가 된다. 피치점 P의 위치가 변하지 않으면 두 피치원은 P에서 접하면서 미끄럼 없이 구르는 운동과 같아진다. 두 원통이 미끄럼 없이 구르면 접촉점의 속도가 같으므로, 같은 논리로 치형 맞물림의 속도비가 설명된다. 따라서 피치점의 속도는 두 기어에서 같아야 하며 ω1R1 = ω2R2가 성립한다. 식으로 쓰면 다음과 같다. $ω1/ω2 = R2/R1 = D2/D1 = N2/N1$ 여기서 ω는 각속도(rad/s), R과 D는 피치원 반지름과 지름(mm), N은 잇수이다. 같은 모듈의 기어는 피치원 지름이 잇수에 비례하므로 마지막 등식이 성립한다. 각속도비는 피치원 지름의 역비이다. 즉 피치원 지름이 작은 기어가 더 빠르게 회전함이 원리의 결론이다. 피치점 P의 위치가 중심선 위에서 이동하면 각속도비가 회전 중에 바뀐다. 따라서 각속도비를 일정하게 하려면 P가 중심선 위의 고정된 점이어야 하며, 이것이 피치점의 위치가 각속도비를 결정한다는 말의 뜻이다. 치형의 설계 조건(공통 법선이 P를 지남)과 축 간 거리 고정 조건이 함께 만족될 때 원활한 동력 전달이 이루어진다.

3. 등장 배경과 필요성

초기의 기어는 치형을 임의의 곡선으로 깎았다. 이 경우 맞물림 점이 회전과 함께 이동하여 피치점의 위치가 계속 달라지고, 각속도비가 회전 중에 흔들린다. 그 결과 진동과 소음이 커지고 치면 마모가 빨라져 동력 전달 효율과 수명이 떨어진다. 동력을 원활하게 전달하려면 치형을 수학적으로 정해 피치점을 고정할 필요가 있었고, 이 요구를 만족하는 대표적인 치형이 인벌류트 곡선이다. 인벌류트 곡선은 기초원(base circle)에 감긴 실을 풀 때 실 끝이 그리는 궤적이다. 이 치형의 가장 큰 특징은 자기 공액(self-conjugate)이라는 점이다. 즉 같은 압력각과 같은 모듈을 가진 두 기어는 잇수와 무관하게 서로 원활히 맞물린다. 치형 곡선이 잇수, 압력각, 피치만으로 정해지고 상대 기어의 치형에 의존하지 않기 때문이다. 인벌류트 치형은 잇수, 압력각, 피치로만 정해진다. 압력각을 정하면 기초원 지름이 함께 정해지므로, 압력각과 모듈의 선택이 곧 치형의 크기와 맞물림 특성을 결정한다. 표준 압력각으로는 20°가 널리 쓰인다. 모듈은 피치원 지름을 잇수로 나눈 값이며, 피치원 지름은 모듈과 잇수의 곱으로 정해진다. 이 성질 덕분에 제작해야 할 치형의 종류가 크게 줄고, 표준 기어를 재고로 두고 여러 조합에 쓸 수 있다. 실무에서는 중심거리가 설계 오차로 조금 변하더라도 인벌류트 치형은 각속도비가 유지되는 장점이 있다. 기초원이 고정되어 있으면 두 기어의 맞물림이 공통 접선 위에서 일어나기 때문이다. 건설기계에서도 굴삭기 선회장치와 변속기처럼 기어로 여러 단계의 동력을 전달하는 장치가 많다. 이들 장치에서 각속도비의 안정성은 곧 작동 안정성과 부품 수명으로 이어지므로, 기어 맞물림 원리는 설계의 출발점이 된다.