기둥의 좌굴

왜 배우는가: 기둥의 좌굴은 강도 검토로는 잡히지 않는 파손이므로 설계에서 따로 검토해야 한다. 오일러 임계하중과 세장비는 용어형과 논술형으로 함께 출제되는 기초 개념이다.

출제 이력: 제111회 4교시 2번, 제89회 1교시 9번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

기둥의 좌굴은 압축하중을 받는 세장한 부재가 재료 강도에 도달하기 전에 임계하중에서 갑자기 횡방향으로 휘며 평형을 잃는 현상이다.

답안에 쓰는 핵심 키워드는 다음과 같다.

• 좌굴(buckling): 압축을 받는 부재가 임계하중에서 횡방향 변위를 급격히 일으키며 불안정해지는 현상이다.
• 세장비: 유효길이를 최소 회전반경으로 나눈 값이며, 길이 단위가 상쇄된 무차원 비이다.
• 유효길이: 실제 길이에 양단 지지조건을 반영한 유효좌굴길이계수를 곱한 길이이다.
• 임계하중: 부재가 불안정해지는 최소의 압축하중이다.
• 오일러 좌굴하중: 탄성 범위에서 완전한 직선 기둥이 좌굴하는 임계하중이다.
• 최소 단면 2차 모멘트: 단면의 여러 축 중 휨 저항이 가장 작은 축의 값이며, 좌굴 계산에 쓰인다.
• 회전반경: 단면 2차 모멘트를 단면적으로 나눈 값의 제곱근이다.
• 한계세장비: 탄성좌굴과 비탄성좌굴을 나누는 세장비의 경계값이다.

여덟 개 용어는 서로 연결되어 있다. 세장비는 유효길이와 회전반경의 비이므로 길이가 늘거나 단면이 얇아질수록 커진다. 세장비가 커지면 같은 재료라도 임계응력이 낮아져 좌굴이 쉽게 일어난다. 따라서 답안은 정의 문장 다음에 세장비와 임계하중의 관계를 한 흐름으로 이어서 쓰는 것이 기본이다.

2. 개념 풀이

기둥은 부재 길이와 단면 치수의 비에 따라 파괴 양상이 달라진다. 단면 치수에 비해 길이가 짧은 단주는 재료의 압축 강도에 도달하여 파괴되지만, 길이가 긴 장주는 강도에 이르기 전에 횡방향으로 휘면서 불안정해진다. 이 횡방향 불안정이 좌굴이며, 하중이 어느 임계값에 이르렀을 때 평형 상태가 갈라지는 분기 현상이다.

하중이 임계값보다 작으면 기둥은 작은 횡방향 외란이 사라질 때 원래의 직선 상태로 복원되는 안정 평형에 있다. 하중이 임계값에 이르면 같은 외란에 대해 평형이 유지되지 못하고 횡변위가 커지는 불안정 평형으로 바뀐다. 이 전환점이 임계하중이며, 실제 기둥은 초기 불완전성 때문에 이 값보다 낮은 하중에서 휘기 시작한다.

원리는 다음과 같다. 완전한 직선 기둥에 중심 축하중 P가 작용하여 미소한 횡변위 v가 생겼다고 가정하면, 단면에는 Pv의 굽힘모멘트가 작용한다. 이 모멘트는 부재의 굽힘 저항 EI와 평형을 이루어야 하며, 횡변위가 0이 아닌 상태로 평형을 유지하는 최소 하중이 임계하중이다. 이 평형 조건을 미분방정식으로 풀면 오일러 좌굴하중이 얻어진다.

$P_{cr} = π²EI_{min} ÷ (KL)² = π²EI_{min} ÷ L_e²$

여기서 P_cr은 오일러 임계하중(N), E는 재료의 탄성계수(MPa), I_min은 최소 단면 2차 모멘트(mm⁴), K는 유효좌굴길이계수, L은 실제 길이(mm), L_e = KL은 유효길이(mm)이다. 기둥은 휨 저항이 가장 작은 방향으로 먼저 휘므로 식에는 최소 단면 2차 모멘트를 대입한다.

임계응력은 임계하중을 단면적 A로 나눈 값이다. 회전반경 r_min = √(I_min ÷ A)를 도입하면 식은 세장비 λ로 정리된다.

$σ_{cr} = P_{cr} ÷ A = π²E ÷ λ², λ = L_e ÷ r_min$

식에서 임계응력은 세장비의 제곱에 반비례한다. 따라서 세장비 2배면 임계응력 1/4이 된다. 재료의 항복강도는 식에 나타나지 않는다. 이 개념의 핵심은 좌굴하중은 강도가 아니라 EI와 유효길이로 정해진다. 는 점이다.

오일러식은 임계응력이 재료의 비례한도 σ_p 이하인 탄성 범위에서만 성립한다. 이 경계가 되는 세장비를 한계세장비라 하며, σ_cr = σ_p를 대입하여 λ_p = π√(E ÷ σ_p)로 구한다. 세장비가 한계세장비보다 작은 짧은 기둥은 비탄성 영역에서 좌굴하므로 오일러식을 그대로 쓸 수 없고, 접선계수 이론이나 랭킨-고든 공식 같은 실험 기반 경험식을 적용한다.

양단 지지조건은 유효좌굴길이계수 K로 반영한다. 지지가 강할수록 K가 작아져 유효길이가 줄고 임계하중이 커진다. 양단 힌지 K = 1.0이고, 양단 고정이면 K가 절반인 0.5가 되어 임계하중은 같은 조건의 양단 힌지 기둥보다 4배이다. 반대로 유효길이 2배면 하중 1/4이므로, 설계 단계에서 부재 길이와 지지 조건을 정하는 것이 좌굴 대책의 출발점이다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물은 중량을 기둥으로 지지하므로 기둥의 안정성 해석은 구조물 붕괴와 직결된다. 엔지니어가 흔히 예상하는 파손 양식은 인장파괴나 항복파괴인데, 세장한 기둥은 이와 다른 좌굴로 재료 강도에 도달하기 전에 무너질 수 있다. 따라서 압축을 받는 부재는 단면 강도 검토와 별도로 좌굴 검토를 해야 한다.