Hardy-Cross 기법

왜 배우는가: 하디크로스법은 도시가스 배관망의 유량과 압력 손실을 계산하는 기본 방법이라 실무 설계에서 관경과 공급 안정성을 판단할 때 쓰인다. 시험에서는 원리와 계산 절차를 묻는 형태로 출제되므로 연속방정식과 수두 평형 두 조건을 정확히 구분해 익혀야 한다.

출제 이력: 제99회 2교시 3번, 제92회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

하디크로스법은 폐합회로로 이루어진 배관망에서 각 관의 유량을 반복 계산으로 구하는 방법이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 배관망 해석: 여러 관이 교차점(노드)으로 연결된 관망에서 각 관의 유량과 손실을 구하는 계산이다.
• 폐합회로: 관들이 한 바퀴 돌아 출발점으로 되돌아오는 루프를 말한다.
• 연속방정식: 각 교차점에서 유입 유량의 합과 유출 유량의 합이 같아야 한다는 조건이다.
• 수두 평형: 폐합회로를 한 바퀴 돌았을 때 손실수두의 대수합이 0이 되어야 한다는 조건이다.
• 유량 보정치: 가정한 관 유량을 고치기 위해 더하거나 빼는 값이다.
• 반복 계산: 보정치를 구하고 유량을 갱신하는 과정을 조건이 만족될 때까지 되풀이하는 것이다.

이 키워드들은 답안 첫 줄의 정의와 본문 풀이에서 함께 쓰인다. 특히 연속방정식과 수두 평형은 해석 조건을 구성하는 두 축이므로, 둘 중 하나라도 빠지면 관망 해의 조건이 갖춰지지 않는다.

2. 개념 풀이

하디크로스법은 교차점마다 유출 유량이 주어지고 관망 내부의 유량은 알 수 없을 때, 관별 유량을 가정한 뒤 보정해 가며 해를 구하는 반복 해법이다. 관망 내부 유량을 대수식으로 직접 풀이하는 것은 실질적으로 불가능하므로 시행착오법의 형태를 취한다. 적용 대상은 폐합회로를 가진 관망이며, 소비자의 유출은 교차점(노드)에서 일어난다고 가정하여 관 내부에서는 유량이 균일하다고 본다.

하디크로스법의 바탕은 두 가지 원리이다. 첫째는 연속방정식이다. 각 교차점에서 유입 유량의 합이 유출 유량의 합과 같아야 하므로, 초기 가정 유량은 이 조건을 먼저 만족하도록 정한다. 둘째는 수두 평형이다. 폐합회로 안에서 흐름 방향을 따라 측정한 손실수두의 대수합은 0이어야 한다. 흐름이 측정 방향과 같으면 손실수두를 더하고 반대이면 빼며, 이 조건은 두 교차점 사이의 손실이 경로와 무관하게 같다는 사실에서 나온다.

관 하나의 손실수두는 유량의 비선형 함수이다. 흔히 h_L = K Q^n 형태로 쓰며, 여기서 K는 관의 길이·지름·마찰 특성으로 정해지는 저항계수이고, Q는 유량(㎥/s), n은 유동 조건에 따른 지수이다. 관마찰에 의한 손실은 달시-바이스바흐 식으로 구하는데, 이 식도 유속의 제곱에 비례하는 항을 포함하므로 유량에 대해 비선형이다.

이 식을 적용하면 가정 유량 Q0에 대해 각 폐합회로의 손실수두 합을 계산하고, 그 결과로 회로별 보정치를 구한다. 보정치는 다음 식으로 구한다.

$ΔQ = -(ΣKQ^n) ÷ (nΣK|Q|^(n-1))$

여기서 ΔQ는 보정치(㎥/s), K는 관 저항계수, Q는 가정 유량(㎥/s), n은 지수이다. 분자는 회로의 손실수두 합이고, 분모는 그 합을 유량으로 미분한 값에 해당한다. 따라서 보정은 회로의 손실수두 합을 0에 가깝게 만드는 방향으로 이루어진다.

절차는 다음과 같다.

• 각 교차점에서 연속방정식을 만족하도록 관별 초기 유량 Q0를 가정한다.
• 각 폐합회로에 대해 손실수두의 합 ΣhL을 계산한다.
• 회로별 보정치 ΔQ를 식으로 구한다.
• 두 회로가 공유하는 관은 양쪽 회로의 보정치를 함께 반영하여 유량을 갱신한다.
• 모든 회로에서 시계 방향 손실과 반시계 방향 손실이 같아질 때까지 2~4단계를 반복한다.

반복 과정에서 보정치는 손실 합을 줄이는 쪽으로 작용하므로, 초기 가정이 다소 부정확하더라도 오차가 다시 줄어든다. 하나의 회로만 보정하면 인접 회로와 공유하는 관의 유량이 함께 바뀌므로, 모든 회로를 차례로 보정하고 다시 검사하는 과정이 필요하다. 이 점이 단일 회로 계산과 다른 핵심이며, 보정을 여러 번 되풀이해야 하는 이유이다.

3. 등장 배경과 필요성

하디크로스법은 1936년 11월에 처음 발표되었다. 발표자 하디 크로스는 미국 일리노이 대학교의 구조공학 교수였으며, 하디크로스법은 그가 부정정 구조물의 부재력을 구하려고 만든 모멘트 분배법을 응용한 방법이다. 구조물 해석의 반복 계산을 관망 유동 문제에 옮겨 쓴 것이므로, 이 방법의 출발점이 구조 해석에 있음을 알 수 있다.

관망의 유동 문제는 손실수두가 유량에 비선형으로 의존하기 때문에 해석적으로 풀기 어렵다. 전기회로는 저항이 일정하여 선형 방정식으로 풀 수 있지만, 배관은 저항이 유량에 따라 달라지므로 반복 계산이 필요하다. 이 때문에 관망 내부 유량을 시행착오법으로 구하는 방법이 요구되었고, 하디크로스법이 그 기본 해법으로 자리 잡았다.