전개도법의 종류와 작도

핵심 정리

전개도는 입체의 면을 평면 위에 펼쳐 나타낸 도형이다. 전개도를 그릴 때는 각 면의 실제 크기와 서로 맞닿는 모서리의 대응 관계를 보존해야 한다. 따라서 전개도는 외곽 모양만 그리는 그림이 아니라 입체의 면과 모서리 관계를 보여 주는 도면이다. 접었을 때 면이 겹치거나 대응하는 모서리가 맞지 않으면 올바른 전개도가 아니다. 펼칠 때 자른 모서리와 접는 모서리도 구분해야 한다.

입체의 구조에 따라 전개도법을 고른다. 각기둥이나 원기둥처럼 길이 방향으로 옆면이 이어지는 입체는 평행선법으로 전개한다. 꼭짓점에서 여러 면이 뻗어 나오는 각뿔이나 원뿔은 꼭짓점을 기준으로 방사선을 이용해 전개한다. 입체의 이름만으로 작도법을 기계적으로 고르지 말고 면의 배열과 전개할 때의 기준선을 살펴 구분한다.

전개도의 선을 읽을 때는 평면 도형의 변인지, 접는 위치인지, 곡면을 펼친 경계인지 살펴야 한다. 원기둥 옆면은 직사각형으로 펼쳐지고 원뿔 옆면은 부채꼴로 펼쳐진다. 특정한 곡면 입체의 전개도에는 곡선으로 나타나는 부분이 생길 수 있다. 반면 직육면체처럼 평면으로만 이루어진 입체의 모서리는 전개도에서도 직선이다. 전개도에서 길이를 읽을 때는 도면의 눈금과 축척을 확인하고, 접은 뒤 만나는 모서리가 어디인지 대응 관계를 추적한다.

자세히

전개도를 그리는 과정은 입체의 표면을 면 단위로 나누어 평면에 옮기는 것이다. 먼저 밑면, 옆면, 꼭짓점, 모서리를 확인하고 어떤 모서리를 잘라 펼칠지 정한다. 자를 곳을 정하지 않으면 면들이 한 덩어리로 이어진 채 평면에 놓이지 않는다. 반대로 필요 이상으로 자르면 면의 연결 관계를 잃어 접었을 때 입체의 형태를 재구성하기 어렵다. 완성한 뒤에는 각 면이 다른 면과 연결되는지, 접었을 때 대응하는 모서리끼리 맞는지, 면이 서로 겹치지 않는지 확인한다. 이 검토를 통해 외곽선만 그럴듯한 도형과 실제로 접을 수 있는 전개도를 구분할 수 있다.

평행선법은 길이 방향으로 같은 단면이 이어지는 기둥 모양 입체를 펼칠 때 알맞다. 각기둥에서는 옆면들이 밑면의 모서리를 따라 띠처럼 이어진다. 옆면의 경계가 되는 모서리들은 서로 평행하므로, 기준 모서리를 정하고 그와 평행한 선을 이용해 면의 폭과 위치를 옮긴다. 밑면은 옆면 띠의 알맞은 위치에 연결한다. 원기둥도 같은 방식으로 길이 방향의 옆면을 다룬다. 원기둥의 옆면을 펼치면 직사각형이 된다. 원기둥의 밑면은 원이므로 전개도에는 두 원과 직사각형이 함께 놓인다. 원의 둥근 경계와 펼친 옆면의 경계를 혼동하지 않는다.

방사선법은 꼭짓점에서 여러 면이 이어지는 뿔 모양 입체를 펼칠 때 알맞다. 먼저 기준이 될 꼭짓점을 정하고, 그 꼭짓점에서 밑면의 각 꼭짓점으로 이어지는 옆모서리의 방향을 기준으로 삼는다. 옆면들이 평면에서 방사형으로 퍼지도록 차례로 배치한다. 각 면의 변 길이와 이웃 면이 만나는 순서를 보존해야 하므로, 한 면을 그린 뒤 그 면과 이어지는 다음 면으로 진행한다. 각뿔의 전개도는 방사선법으로 그린다. 뿔의 전개도는 꼭짓점을 중심으로 방사선을 이용해 그린다. 원뿔의 전개도도 방사선법으로 작도한다. 이때 원뿔의 옆면은 평면에서 부채꼴로 펼쳐진다.

방사선법에서 기준점부터 뻗는 선은 옆면들이 만나는 관계를 보여 준다. 그렇다고 모든 곡면이 직선으로 펼쳐진다는 뜻은 아니다. 각뿔처럼 평면인 삼각형 옆면은 직선 변으로 그려지고, 원뿔처럼 곡면을 가진 옆면은 부채꼴의 곡선 경계를 포함한다. 특정한 원통·원뿔 부품의 전개도에서 곡선이 나타나는 사례도 있다. 따라서 작도법의 이름과 완성된 전개도의 선 모양을 같은 기준으로 판단하지 않는다. 작도법은 면을 펼치는 기준과 진행 방법을 말하고, 곡선 여부는 곡면을 펼쳤을 때 어떤 경계가 생기는지를 말한다.

아래 표는 작도법을 선택할 때 살펴볼 입체의 구조와 완성한 전개도에서 확인할 요소를 정리한 것이다.

표는 대표적인 적용을 비교한 것이다. 복합 입체에서는 한 가지 방법만 고집하지 말고 부분별로 면의 배열을 살펴본다. 어느 부분이 평행한 띠 형태인지, 어느 부분에서 면이 꼭짓점을 중심으로 모이는지 판단한다. 문항이 특정 부분의 전개도를 묻는다면 전체 외형보다 그 부분의 표면 구조를 먼저 확인한다. 어떤 방법을 쓰든 길이와 면의 연결 관계를 보존해야 한다. 전개도에 보이는 선을 입체의 모든 모서리와 무조건 일대일로 대응시키지 않는다.