등각 투상도의 원리와 작도

핵심 정리

등각 투상도는 물체의 세 축을 한 화면에 나타내어 입체의 모양을 알아보기 쉽게 그리는 축측 투상도의 한 종류다. 세 축은 서로 같은 조건으로 보이도록 배치하며, 세 좌표축이 이루는 각은 모두 120°다. 세 좌표축이 이루는 각은 모두 120°다.

그림을 그릴 때는 수직 방향의 축 하나와 좌우로 기울어진 축 두 개를 기준으로 삼는다. 세 축을 기준으로 물체의 높이·너비·깊이에 해당하는 모서리를 놓고, 축에 평행한 모서리들은 서로 평행하게 나타낸다. 따라서 세 축과 평행한 모서리를 따라 형상을 정리하면 각 면의 위치 관계와 입체의 윤곽을 한 그림 안에서 읽을 수 있다.

등각 투상도에서 원은 원래 모양 그대로가 아니라 타원으로 그려진다. 원이 놓인 면이 화면에 비스듬히 보이기 때문이다. 정면에서 보는 원과 등각 투상도에서 보이는 원의 모양을 같다고 여기지 않아야 한다. 또한 이 투상도의 축각은 물체의 실제 모서리 각과 구별해야 한다. 실제로 직각으로 만나는 세 모서리도 등각 투상도에서는 각각 120°를 이루어 보인다.

자세히

입체를 평면에 나타내는 방법은 무엇을 보여 주고 싶은지에 따라 달라진다. 정면·평면·측면을 따로 그리는 정투상도는 각 방향에서 본 모양과 치수를 살피기 좋지만, 여러 뷰를 함께 읽어야 물체의 입체 관계를 파악할 수 있다. 등각 투상도는 세 방향의 축을 한 장면에 함께 나타내므로, 물체의 높이와 너비와 깊이가 어떻게 결합하는지 한눈에 이해하기 쉽다. 각 면의 모양을 모두 실제 크기와 모양 그대로 정면에 늘어놓는 그림은 아니며, 입체를 정해진 방향에서 본 투상 표현이다.

먼저 세 축의 배치를 정한다. 세 축 가운데 하나를 수직으로 놓고, 나머지 두 축을 수직축의 양쪽에 대칭적으로 기울여 그리면 등각 투상도의 기본 뼈대가 된다. 이 세 축이 서로 이루는 각은 각각 120°다. 이 각은 화면 위에서 축의 방향 사이를 재는 각이다. 물체의 실제 세 모서리가 서로 직각이라는 사실과 모순되지 않는다. 물체의 세 모서리는 공간에서 직각으로 만나지만, 이를 평면에 투상하여 그리면 화면상 방향 사이의 각은 120°가 된다. 그러므로 문제에서 실제 모서리의 관계를 묻는지, 투상도에 그려진 축의 각을 묻는지 먼저 구별해야 한다. 등각 투상도에서 세 축은 서로 120°를 이룬다.

축을 정한 뒤에는 물체의 크기와 모서리의 위치를 축을 따라 옮겨 잡는다. 높이에 해당하는 모서리는 수직축과 나란히, 너비와 깊이에 해당하는 모서리는 각 기울어진 축과 나란히 둔다. 이를테면 직육면체를 그릴 때에는 먼저 한 꼭짓점을 기준으로 세 방향의 길이를 축에 맞추어 표시하고, 각 표시점에서 다른 축과 평행한 선을 이어 면과 윤곽을 만든다. 이 과정에서 어떤 모서리가 어느 축 방향에 놓이는지를 계속 확인해야 한다. 축을 따라가는 모서리가 중간에 다른 방향으로 꺾이거나, 같은 방향의 평행 모서리들이 한 점으로 모이는 식으로 그려지면 등각 투상도의 기본적인 평행 관계가 깨진다.

이 표에서 가장 먼저 적용할 것은 축과 모서리의 방향 관계다. 등각 투상도는 세 축이 정해져 있으므로, 물체의 모서리를 어느 축에 대응시킬지 결정하면 선의 방향을 체계적으로 잡을 수 있다. 같은 축에 평행한 모서리는 그림에서도 서로 평행하게 그린다. 이 성질은 모서리의 실제 길이를 비교하는 것과는 다른 판단 기준이다. 도형의 서로 다른 부분에 있는 선이라도 같은 축 방향을 따라가면 평행한 방향으로 나타난다는 뜻이다. 축에 평행한 모서리는 서로 평행하게 그린다.

다음으로 면의 모양을 살핀다. 정육면체나 직육면체처럼 서로 직각인 면과 모서리로 이루어진 물체도 화면에서는 정면에서 본 사각형의 모양과 다르게 보인다. 등각 투상도는 앞·위·옆의 방향을 함께 드러내도록 기울어진 축을 사용하기 때문이다. 따라서 각 면을 그릴 때는 면의 변이 어떤 축과 나란한지 확인하고, 그 면을 둘러싸는 선을 해당 축 방향에 맞춘다. 세 모서리가 한 꼭짓점에서 만나는 곳에서도 실제 공간의 직각을 그대로 화면에 재현하려고 하지 않는다. 화면에서는 세 방향이 120°씩 벌어진 관계로 표현된다. 직각으로 만나는 세 모서리도 등각 투상도에서는 각각 120°를 이룬다.