선분·각의 이등분 작도

핵심 정리

이등분은 하나의 도형을 서로 같은 부분으로 나누는 것이다. 선분을 이등분하면 두 부분의 길이가 같고, 각을 이등분하면 두 각의 크기가 같다. 선분을 수직으로 이등분한다는 것은 선분의 중점을 지나면서 그 선분과 수직인 직선을 만드는 것이다. 따라서 중점만 지나거나 수직으로만 만나는 것으로는 수직 이등분선이 되지 않는다. 선분의 수직 이등분선 위의 점은 선분의 양 끝점에서 같은 거리에 있다.

수직 이등분선은 선분의 두 끝점을 각각 중심으로 하여 같은 반지름의 원호를 그리고, 두 원호의 교점을 연결해 작도한다. 두 원호의 교점을 잇는 직선은 해당 선분을 수직 이등분한다. 선분의 수직 이등분선은 두 끝점에서 같은 반지름으로 그린 원호의 교점을 이어 작도한다.

각의 이등분선은 한 각을 크기가 같은 두 각으로 나누는 선이다. 같은 반지름의 원호로 얻은 교점을 이용하면 각의 이등분선을 작도할 수 있다. 주어진 각은 각의 이등분선 작도로 2등분할 수 있고, 주어진 선분은 등분 작도로 3등분할 수 있다. 각의 이등분선 작도로 주어진 각을 2등분할 수 있다.

작도에서 원호와 선분의 길이를 혼동하지 않아야 한다. 원호의 반지름은 작도 과정에서 정하는 길이이며, 선분의 길이와 일치하지 않을 수 있다. 선분 CD의 양 끝점을 중심으로 선분 CD를 반지름으로 하는 원호를 그려 교점 J를 얻고, C, D, J를 연결하면 정삼각형 CDJ가 된다. 수직 이등분선은 선분의 중점을 지나고 그 선분에 수직인 직선이다.

자세히

수직 이등분선의 작도는 끝점에서 같은 거리에 있는 점을 찾아 그 점들을 직선으로 연결하는 과정이다. 선분의 양 끝점을 A, B라고 하고, 두 끝점에서 각각 같은 반지름으로 원호를 그린다고 생각하자. 원호가 만나는 점을 P, Q라고 하면, P는 두 원호 위에 있으므로 A와 P 사이의 거리와 B와 P 사이의 거리가 같다. Q도 마찬가지로 A와 Q 사이의 거리와 B와 Q 사이의 거리가 같다. 따라서 P와 Q는 모두 A와 B에서 같은 거리에 있는 점이다. 이 두 점을 지나는 직선은 수직 이등분선이다.

이 작도는 다음 순서로 진행한다. 먼저 주어진 선분의 양 끝점을 확인하고, 컴퍼스로 한 끝점을 중심으로 원호를 그린다. 컴퍼스의 벌림을 바꾸지 않은 채 다른 끝점을 중심으로 원호를 그린다. 두 원호가 만나는 두 점을 찾고, 자를 대어 두 교점을 잇는 직선을 긋는다. 이 직선이 선분과 만나는 곳이 선분의 중점이며, 직선은 선분과 수직으로 만난다. 즉, 원호를 그리는 단계는 양 끝점에서 같은 거리에 있는 두 점을 확보하고, 교점을 잇는 단계는 그 점들을 지나는 직선을 만드는 역할을 한다. 두 교점을 모두 사용해야 하며, 한 교점만으로는 수직 이등분선 전체를 결정할 수 없다.

원호의 반지름은 두 원호가 두 점에서 만나도록 정해야 한다. 반지름이 선분의 절반보다 커야 두 교점이 생긴다. 작도에서는 같은 반지름을 유지하는 것이 핵심이지, 그 반지름을 선분의 길이와 같게 맞추는 것이 핵심은 아니다. 실제로 원의 반지름은 선분의 길이와 일치하지 않는 경우가 있고, 작도 방법에 따라 달라진다. 선분의 양 끝점을 중심으로 같은 반지름의 원호를 그려 교점을 얻고, 그 교점을 잇는 방식이 수직 이등분 작도의 기본이다.

왜 교점을 이은 직선이 수직 이등분선인지 확인할 때는 두 사실을 구분해 생각한다. 먼저 교점 P, Q는 각각 A와 B에서 같은 거리에 있으므로 두 점은 선분의 양 끝점에서 등거리인 점이다. 그런 점들을 이은 직선은 선분 AB를 가운데에서 나누고 AB와 직각으로 만난다. 따라서 직선 PQ는 선분 AB의 수직 이등분선이다. 이 결론은 단순히 그림에서 직각처럼 보이는지 확인하는 것과 다르다. 원호의 반지름을 같게 설정했다는 작도 조건에서 등거리를 확인하고, 두 교점을 이은 직선의 성질을 적용해야 한다.

각의 이등분도 원호의 교점을 활용하지만, 수직 이등분과 같은 대상을 나누는 작도는 아니다. 수직 이등분에서는 선분의 두 끝점에서 같은 반지름으로 원호를 그린 뒤 두 교점을 연결한다. 각의 이등분에서는 주어진 각의 두 변을 기준으로 원호와 교점을 만들고, 그 교점을 이용하여 각을 나누는 선을 작도한다. 한 각은 두 각의 크기가 같도록 나뉘며, 작도의 결과를 판단할 때는 선분의 길이나 직각 여부가 아니라 두 각의 크기가 같은지 살핀다. 같은 원호 교점을 이용한다는 점은 공통이지만, 원호의 중심과 마지막에 그을 선을 어떤 도형에 맞추는지가 다르다.