불확정성 원리

핵심 정리

양자역학에서는 입자의 상태를 고전역학처럼 모든 물리량이 미리 하나의 정확한 값으로 정해진 상태로 다루지 않는다. 특히 위치와 운동량은 입자의 파동적 성질과 관련되며, 두 물리량의 불확정도를 동시에 임의로 작게 만들 수 없다. 입자의 위치와 운동량은 동시에 정확하게 측정할 수 없다. 이 한계를 나타내는 원리가 불확정성 원리다. 위치와 운동량의 불확정도는 곱에 하한이 있다. 따라서 한쪽 불확정도가 작아져도 다른 쪽이 반드시 커진다고 일반화할 수는 없다. 다만 슬릿 폭을 좁히는 상황에서는 위치 불확정도가 감소하고 운동량 불확정도가 증가한다.

불확정도는 한 번의 측정에서 생기는 실수와 다르다. 같은 상태를 반복하여 측정했을 때 결과값들이 퍼지는 정도다. 측정 기기를 더 정밀하게 만들거나 실험 절차를 개선해도 두 물리량을 동시에 정확히 정할 수 있는 것은 아니다. 이는 측정자의 기술 부족이 아니라 양자 상태에 내재한 물리적 제한이다.

입자의 위치를 좁은 공간에 제한하면 그 상태를 나타내는 파동의 공간적 분포도 좁아진다. 이때 운동량은 한 값에 모이지 않고 여러 값으로 퍼진다. 반대로 운동량이 좁은 범위에 모인 상태에서는 위치가 넓은 범위에 걸쳐 분포한다. 위치와 운동량의 불확정도 사이에는 이런 관계가 있지만, 한쪽을 줄이면 다른 쪽이 언제나 반드시 커진다고 단정해서는 안 된다. 주어진 상황에서 두 불확정도가 어떻게 변하는지 살펴야 한다.

자세히

불확정성 원리를 문제에 적용할 때는 먼저 어떤 물리량의 불확정도를 비교하는지 확인한다. 이 절에서 다루는 쌍은 위치와 운동량이다. 위치 불확정도는 위치 측정값들이 얼마나 퍼져 있는지를, 운동량 불확정도는 운동량 측정값들이 얼마나 퍼져 있는지를 나타낸다. 불확정도는 단일 측정값의 오차나 입자가 움직이는 동안 위치가 바뀐 거리를 뜻하지 않는다. 같은 양자 상태를 여러 번 측정했을 때 결과가 분포하는 정도다. 따라서 한 번의 측정에서 위치와 운동량을 각각 읽었다고 해서 두 물리량의 동시 확정값을 얻었다고 결론 내릴 수 없다.

불확정도 사이의 관계를 측정 장치가 입자를 건드려 생기는 방해만으로 설명할 수는 없다. 장치가 완벽하고 측정 과정의 오차를 줄여도, 양자 상태 자체에서 위치와 운동량의 분포를 동시에 임의로 좁게 만들 수 없다. 이 원리는 실험자가 정보를 충분히 얻지 못한다는 뜻에 그치지 않는다. 자연이 허용하는 상태와 측정 결과의 통계적 성격을 나타낸다. 따라서 더 좋은 기계를 만들면 두 값을 동시에 정확히 알 수 있다는 식으로 이해해서는 안 된다.

‘정확하게 측정한다’는 말과 ‘불확정도가 작다’는 말은 관련되지만, 변화 방향은 상황에 따라 살펴야 한다. 어떤 물리량을 더 정확히 측정한다는 말은 그 물리량의 결과가 더 좁은 범위에 모인다는 뜻이다. 주어진 상황에서 위치 불확정도가 감소하면 운동량 불확정도가 증가할 수 있고, 반대로 운동량 불확정도가 낮아지면 위치 불확정도가 커질 수 있다. 한쪽 불확정도 감소 → 다른 쪽 증가 다만 불확정도의 곱에 하한이 있다는 사실만으로 한쪽이 줄 때마다 다른 쪽이 반드시 커진다고 결론 내리지는 않는다.

불확정도는 곱의 제한으로도 표현된다. 위치와 운동량의 불확정도를 각각 줄이더라도 그 곱은 플랑크 상수 정도보다 작아질 수 없다. 위치·운동량 불확정도 곱은 하한을 가짐 정량적 관계를 묻는 문항에서는 문제에 주어진 표현과 조건을 먼저 확인한다. 이 절에서는 정확한 계수나 별도의 계산식보다 불확정도 곱에 하한이 있다는 점과, 특정 상황에서 한쪽이 줄 때 다른 쪽이 커지는 관계를 적용하는 것이 중요하다. 원리는 두 불확정도가 각각 일정한 값으로 고정된다고 말하지 않는다. 두 값의 조합에 제한이 있다는 뜻이다.

파동함수로 입자의 상태를 다룰 때는 파동함수 값과 발견 확률을 구별해야 한다. 일차원 상자 속 입자의 위치별 발견 확률 밀도는 파동함수 크기의 제곱에 비례한다. 따라서 특정 위치에서 파동함수 값만 보고 그 위치에서 입자를 발견할 확률이라고 단정할 수 없다. 구간에서의 확률은 그 구간에 걸친 파동함수 제곱을 적분한 값으로 정해진다. 확률 밀도는 위치마다 확률이 어떻게 분포하는지를 나타낸다. 폭이 있는 구간의 확률을 구하려면 구간 전체의 기여를 더해야 한다. 구간 폭이 달라지면 그 안에 포함되는 확률도 달라질 수 있으므로, 한 점의 파동함수 값과 구간의 확률을 바꾸어 써서는 안 된다.