이중 슬릿 간섭

핵심 정리

이중 슬릿에 단색광을 비추면 두 슬릿을 통과한 빛이 스크린의 같은 지점에 도달해 겹치며, 그 결과 밝고 어두운 간섭무늬가 나타난다. 두 빛의 경로차가 파장의 정수배이면 보강 간섭이 일어나 밝은 무늬가 나타난다. 경로차가 반정수배인 곳에서는 상쇄 간섭이 일어나 어두운 무늬가 나타난다. 중앙의 밝은 무늬는 두 슬릿에서 스크린까지의 거리가 같아 경로차가 0인 곳에 생긴다.

슬릿 간격을 d, 슬릿에서 스크린까지의 거리를 L, 빛의 파장을 \lambda라 하고, 스크린에서 중앙으로부터 떨어진 거리를 x라 하면, 멀리 떨어진 스크린에서의 밝은 무늬 간격은 \Delta x=\lambda L/d로 나타난다. 인접한 밝은 무늬 간격은 파장과 슬릿-스크린 거리에 비례하고 슬릿 간격에 반비례한다. 따라서 파장이나 슬릿-스크린 거리가 커지면 무늬가 넓어지고, 슬릿 간격이 커지면 무늬가 좁아진다. 같은 조건에서 파장이 긴 빛은 짧은 빛보다 간섭무늬 간격이 넓다. 매질의 굴절률이 클수록 간섭무늬의 간격은 좁아진다.

밝은 무늬와 어두운 무늬는 경로차 조건으로 구분하고, 무늬의 위치는 슬릿-스크린 거리와 슬릿 간격을 함께 고려해 판단한다. 중앙 밝은 무늬로부터 m번째 어두운 무늬의 경로차는 (m-1/2)\lambda이다. 어두운 무늬의 위치도 슬릿-스크린 거리에 비례한다. 경로차 조건과 무늬 간격 관계를 각각 적용하면, 간섭무늬의 종류와 위치 변화를 혼동하지 않고 풀이할 수 있다.

자세히

이중 슬릿 간섭은 두 슬릿을 지난 빛이 파동으로서 겹칠 때 나타나는 현상이다. 각 슬릿을 지난 빛은 스크린의 여러 지점으로 퍼져 나가고, 한 지점에 도달한 두 빛은 각각 이동한 거리가 다를 수 있다. 두 경로의 길이 차이를 경로차라고 한다. 두 빛의 위상이 같은 방식으로 겹치면 진폭이 커져 밝게 보이고, 서로 상쇄하는 방식으로 겹치면 어둡게 보인다. 따라서 스크린의 밝고 어두운 무늬는 두 슬릿에서 온 빛의 경로차에 따라 규칙적으로 배열된다.

슬릿에서 스크린까지의 거리가 슬릿 간격보다 충분히 크면, 스크린의 한 지점으로 향하는 두 빛의 진행 방향은 거의 나란하다고 볼 수 있다. 중심축에서 각도 \theta만큼 벗어난 지점에 이르는 경로차는 d\sin\theta로 나타난다. 작은 각도에서는 스크린 위의 위치 x에 대해 \sin\theta\simeq x/L이므로 경로차는 대략 dx/L이다. 이 관계를 간섭 조건에 대입하면 밝은 무늬와 어두운 무늬가 어디에 나타나는지 구할 수 있다. 여기서 중요한 점은 경로차 조건은 두 파동이 보강 또는 상쇄되는지를 정하고, x와 경로차의 관계는 그 무늬가 스크린의 어디에 있는지를 정한다는 것이다.

보강 간섭은 경로차가 m\lambda일 때 일어나며, 여기서 m은 정수이다. 경로차가 0인 중앙에서는 두 슬릿에서 온 빛의 경로가 같으므로 밝은 무늬가 생긴다. 중앙에서 한 차례씩 차례로 멀어지는 밝은 무늬는 경로차가 파장의 정수배만큼 증가하는 위치에 해당한다. 두 밝은 무늬 사이에서는 경로차가 이웃한 보강 조건의 중간값인 (m+1/2)\lambda일 때 상쇄 간섭이 일어난다. 중앙을 기준으로 어두운 무늬를 세면 첫 번째 어두운 무늬의 경로차는 \lambda/2, 다음은 3\lambda/2이며, 이를 일반화한 값이 (m-1/2)\lambda이다. 따라서 어두운 무늬를 셀 때는 밝은 무늬의 정수배 조건을 그대로 적용하지 않도록 주의한다.

작은 각도 근사에서 경로차 dx/L를 밝은 무늬의 조건 m\lambda와 같게 놓으면 밝은 무늬의 위치는 x_m=m\lambda L/d이다. 작은 각도 근사에서 이웃한 밝은 무늬의 위치 차이는 \Delta x=\lambda L/d가 된다. 이 식은 간격이 어떤 조건에 따라 변하는지 바로 보여 준다. 파장이 커지거나 스크린을 더 멀리 놓으면 같은 차수의 무늬들이 중심에서 더 멀어져 무늬 간격이 넓어진다. 반대로 두 슬릿 사이의 간격을 크게 하면 같은 경로차를 만들기 위해 필요한 각도가 작아져 무늬 간격이 좁아진다. 슬릿 간격을 일정하게 할 때 파장이나 슬릿-스크린 거리가 커지면 밝은 무늬 간격도 커진다.