축전기의 연결과 전기 에너지

핵심 정리

축전기 한 개의 전하량, 전기 용량, 양단 전압 사이에는 Q=CV의 관계가 성립한다. 같은 전압에서 전기 용량이 큰 축전기일수록 더 많은 전하를 저장한다. 축전기의 전기 에너지는 U=\frac12 QV=\frac12 CV^2=\frac{Q^2}{2C}로 나타낸다. 따라서 어떤 물리량을 일정하게 두는지 먼저 확인해야 에너지 변화를 올바르게 판단할 수 있다. Q=CV

전압이 일정할 때 축전기에 저장되는 전기 에너지는 전기 용량에 비례한다. 전압을 유지하는 전원에 연결된 상태라면 U=\frac12 CV^2에서 V가 일정하므로 C가 커질수록 에너지가 커진다. 반대로 전원에서 분리되어 전하량이 일정하다면 U=\frac{Q^2}{2C}를 써야 하며, 이때는 전기 용량이 커질수록 에너지가 작아진다. 일정한 조건부터 확인

직렬 연결에서는 각 축전기에 저장되는 전하량이 같고, 전체 전압은 각 축전기 양단 전압의 합이다. 합성 전기 용량은 역수의 합의 역수로 구한다. 병렬 연결에서는 각 축전기 양단 전압이 같고, 전체 전하량은 각 축전기의 전하량을 더한 값이다. 합성 전기 용량은 각 전기 용량의 합이다. 직렬: 전하량 같음

병렬 연결된 축전기들의 양단 전압은 서로 같다. 직렬 연결된 축전기에서는 각 축전기의 전하량이 같고, 병렬 연결된 축전기에서는 각 축전기 양단의 전위차가 같다. 병렬에서는 전압이 같으므로 각 축전기의 전하량은 전기 용량에 비례한다. 직렬에서는 전하량이 같으므로 전기 용량이 작은 축전기에 더 큰 전압이 걸린다. 병렬: 전압 같음

자세히

축전기 연결 문제는 회로의 모양을 보고 합성 전기 용량만 대입하는 문제가 아니다. 먼저 각 축전기가 어떤 연결 관계인지 판단하고, 그다음 회로에서 공통으로 유지되는 물리량을 찾는다. 축전기 양단에 전압 V가 걸리면 전하량은 Q=CV이고, 에너지는 U=\frac12 QV이다. 이 식을 전하량이나 전압 조건에 맞춰 바꾸면 U=\frac12 CV^2 또는 U=\frac{Q^2}{2C}가 된다. 세 형태는 서로 다른 법칙이 아니라 같은 에너지를 서로 다른 일정 조건에 맞게 표현한 것이다. 계산을 시작하기 전에 전원이 연결되어 전압이 일정한지, 전원에서 분리되어 전하량이 일정한지 확인해야 한다.

직렬 연결에서는 한 축전기의 한쪽 극판과 다음 축전기의 한쪽 극판이 이어져 중간 도선에 고립된 도전 부분이 생긴다. 충전 과정에서 각 축전기의 마주 보는 극판에는 크기가 같은 전하가 유도되므로 각 축전기의 전하량 크기가 같다. 축전기들의 양 끝에 걸리는 전체 전압은 각 축전기에 걸리는 전압을 차례로 합한 것이다. 축전기 하나마다 V_i=Q/C_i이므로 직렬 전체에 대해 V=V_1+V_2+\cdots를 적용하고 Q=C_{\mathrm{합}}V와 비교하면 다음 관계를 얻는다.

$\frac{1}{C_{\mathrm{합}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$

직렬 합성 용량은 각 개별 용량보다 작다. 같은 두 축전기를 직렬로 연결했을 때 합성 용량은 하나의 용량보다도 작아진다. 전기 용량이 작은 축전기는 같은 전하량을 저장하면서 더 큰 전압을 가져야 하므로, 직렬 회로에서 전압 분배를 물을 때는 각 축전기의 전기 용량을 비교한다. 둘의 전하량이 같다는 사실만으로 각 축전기의 전압도 같다고 볼 수는 없다. 용량까지 같을 때에만 두 전압도 같아진다. 전압을 모두 더해 회로 전체의 전압과 맞는지 점검하면 분배 계산의 오류를 발견할 수 있다.

병렬 연결에서는 각 축전기의 양쪽 극판이 각각 같은 두 접점에 연결된다. 따라서 모든 축전기 양단의 전위차는 공통이며, 전하량은 각 용량에 공통 전압을 곱한 값이다. 전체 전하량은 축전기별 전하량의 합이므로 Q_{\mathrm{합}}=Q_1+Q_2+\cdots이고, Q_i=C_iV를 적용하면 합성 용량은 다음과 같다.

$C_{\mathrm{합}}=C_1+C_2+\cdots$

병렬에서는 합성 용량이 각 축전기의 용량보다 크다. 공통 전압에서 용량이 큰 축전기는 더 많은 전하를 저장한다. 특히 같은 전압으로 충전된 병렬 축전기들의 전하량 비는 전기 용량의 비와 같다. 이때 전체 전하는 개별 전하의 합이지만, 각 축전기의 전압을 서로 더하는 것은 아니다. 전압이 같은 이유는 각각이 동일한 두 접점에 직접 연결되어 있기 때문이다.

두 연결 형태를 함께 포함하는 회로는 한 번에 처리하지 말고 단순한 직렬 또는 병렬 부분으로 나누어 단계적으로 합성한다. 먼저 같은 두 접점 사이에 놓인 가지들은 병렬인지 살피고, 한 줄로 이어져 중간에 갈림길이 없는 부분은 직렬인지 살핀다. 각 부분을 합성한 뒤 남은 회로에서 같은 과정을 되풀이한다. 연결을 판단할 때 그림에서 선이 가까이 보인다는 이유만으로 병렬이라 단정하지 말고, 실제로 양쪽 끝이 같은 두 접점에 이어지는지를 확인해야 한다. 중간에 다른 소자가 있어도 두 끝이 같은 접점에 연결되어 있으면 병렬 관계가 될 수 있다.