이상 기체의 상태 방정식과 분자 운동

핵심 정리

이상 기체의 거시적 상태는 압력 P, 부피 V, 몰수 n, 절대 온도 T로 나타내며, 이들을 연결하는 식이 상태 방정식 PV=nRT다. 분자 수를 N으로 나타내면 PV=NkT로 쓸 수 있다. R은 기체 상수, k는 볼츠만 상수다. 식을 적용할 때는 온도를 절대 온도로 바꾸고, 압력·부피·물질량의 단위를 서로 맞춘다. 섭씨 온도 t는 절대 온도 (t+273) K에 해당한다. 상태 방정식은 한 상태에서 압력과 부피를 따로 결정하는 식이 아니라, 주어진 양의 기체가 가질 수 있는 상태량 사이의 관계를 나타낸다.

기체의 양이 일정하면 PV/T가 일정하다. 부피가 일정한 변화에서는 압력이 절대 온도에 비례하고, 압력이 일정하면 부피가 절대 온도에 비례한다. 온도가 일정한 등온 변화에서는 압력과 부피가 반비례한다. 따라서 어떤 상태량이 고정되어 있는지 먼저 확인해야 한다. 압력 변화만 보고 온도를 판단하거나, 부피 변화만 보고 과정을 단정하면 안 된다. 기체의 양 일정: PV/T 일정

분자 운동 관점에서 기체 압력은 분자들이 용기 벽에 충돌하며 전달하는 효과다. 분자의 평균 운동 에너지는 절대 온도에 비례한다. 같은 온도에서 기체 종류가 달라도 평균 운동 에너지는 같다. 반면 평균 속력은 분자 질량에 영향을 받으며, 평균 속력의 제곱은 온도에 비례한다. 평균 속력은 절대 온도의 제곱근에 비례하고 분자량의 제곱근에 반비례한다.

속력 분포를 비교할 때는 곡선의 위치와 폭을 구분해 읽는다. 같은 분자 질량의 기체를 비교하면, 맥스웰 분포에서 분자 속력의 최빈값이 작을수록 온도는 낮다. 같은 온도에서는 분자 질량이 클수록 평균 속력이 작다. 최빈 속력과 평균 속력은 서로 다른 대표값이므로, 그래프에서 어느 값을 묻는지 확인한다. 온도는 K로 대입

자세히

이상 기체 상태 방정식은 기체의 상태를 한 식에 모아 놓은 관계다. PV=nRT에서 온도는 반드시 절대 온도로 넣는다. 섭씨 눈금은 기준점을 옮겨 나타내는 온도 눈금이므로 섭씨 수치를 그대로 식에 대입할 수 없다. 섭씨 온도가 t일 때 절대 온도는 (t+273) K다. 문제에서 이미 K로 제시한 온도는 그대로 사용하고, 섭씨 온도로 주어진 경우에만 변환한다. 상태가 바뀌어도 기체의 양이 같다면 PV/T가 변하지 않는다는 점을 이용할 수 있다. 두 상태를 비교할 때는 P_1V_1/T_1=P_2V_2/T_2로 놓아 미지 상태량을 구한다. 이 식은 몰수와 기체 상수가 양쪽 상태에서 같다는 조건을 포함한다.

상태 방정식에서 변화 과정의 성격은 무엇이 일정한가로 나뉜다. 부피가 일정하면 P/T가 일정하므로 온도가 높아질 때 압력도 커진다. 압력이 일정하면 V/T가 일정하여 온도가 높아질 때 부피가 커진다. 온도가 일정하면 PV가 일정하여 부피를 늘릴 때 압력은 작아진다. 이 관계들은 모두 같은 상태 방정식에서 조건 하나를 고정해 얻는다. 따라서 서로 별개의 법칙을 외워 적용하기보다, 일정한 양을 먼저 찾고 식에서 그 양을 고정하는 방법이 안전하다. 등온: PV 일정

이 비교는 기체의 양도 일정하다는 전제에서 성립한다. 예를 들어 부피가 같은 두 기체라도 온도가 다르면 압력이 같다고 할 수 없다. 반대로 온도와 부피가 같다면 상태 방정식에 따라 압력은 몰수에 따라 달라진다. 피스톤이 있는 실린더에서는 피스톤이 정지해 있다는 사실이 힘의 평형을 뜻하지만, 그것만으로 기체의 온도나 부피가 같다고 결론 내릴 수는 없다. 양쪽 기체가 열평형이라는 조건은 온도가 같다는 뜻이며, 힘의 평형 조건과 구별해야 한다. 주어진 그림의 피스톤 조건과 열평형 조건을 각각 읽은 뒤 상태 방정식에 넣는다.

상태 방정식은 분자 수로도 표현된다. 분자 수가 N일 때 PV=NkT이며, 이 표현은 거시적인 압력·부피와 미시적인 분자 운동을 연결한다. 분자 운동론에서 압력은 벽에 부딪히는 분자들이 용기에 주는 효과로 나타난다. 분자가 더 빠르게 움직이면 충돌로 운동량을 전달하는 효과가 커지고, 이는 압력과 연결된다. 이 관점에서 온도는 분자들의 평균 운동 에너지와 연결된 상태량이다. 같은 온도의 기체라면 분자 하나의 평균 운동 에너지는 기체의 종류와 무관하게 같다. 기체 종류가 바뀌면 분자의 질량이 달라질 수 있지만, 이것이 같은 온도에서 평균 운동 에너지가 달라진다는 뜻은 아니다.