단진동과 용수철 진자·단진자

핵심 정리

단진동은 평형 위치에서 벗어난 변위에 비례하고 평형 위치 쪽을 향하는 복원력을 받아 같은 운동을 되풀이하는 운동이다. 용수철 끝에 매단 물체와 실 끝에 매단 추, 즉 단진자가 대표적인 예이다. 두 계 모두 평형 위치를 중심으로 왕복하므로 주기와 에너지를 같은 틀로 다룬다.

용수철 진자의 주기는 질량과 용수철 상수로 정해진다. 용수철 진자의 주기는 질량의 제곱근에 비례하고 용수철 상수의 제곱근에 반비례한다. 따라서 질량이 커지면 주기는 길어지지만 그 증가는 정비례가 아니다. 주기는 진폭과 무관하다. 진폭을 바꿔도 같은 용수철 진자의 주기는 변하지 않는다.

단진자는 실의 길이와 중력 가속도만으로 주기가 정해진다. 단진자의 주기는 실의 길이의 제곱근에 비례하고 중력 가속도의 제곱근에 반비례한다. 실이 길수록 주기가 길고, 중력 가속도가 클수록 주기가 짧다.

단진동에서는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지가 서로 전환된다. 용수철 진자에서는 탄성 퍼텐셜 에너지가, 단진자에서는 중력 퍼텐셜 에너지가 관련된다. 이상적인 용수철 진자나 단진자처럼 비보존력이 일을 하지 않는 계에서는 역학적 에너지가 운동 중 일정하게 보존된다. 따라서 최고점과 최저점, 평형 위치에서의 에너지 값을 서로 연결하여 속력과 높이를 구한다.

알짜힘과 에너지의 최댓값도 진폭으로 정해진다. 단진동하는 물체에 작용하는 알짜힘의 최댓값은 용수철 상수와 진폭의 곱과 같다. 운동 에너지의 최댓값은 용수철 상수와 진폭 제곱의 곱의 절반과 같다.

자세히

단진동은 복원력이 변위에 비례하는 운동이다. 평형 위치를 기준으로 물체가 한쪽으로 밀려나면 그 반대 방향으로 힘이 작용하고, 물체는 평형 위치를 지나 반대편으로 밀려나 다시 돌아온다. 이 과정을 한 번 완료하는 데 걸리는 시간이 주기이며, 주기의 역수가 진동수이다. 용수철 진자에서는 진폭이 달라도 주기가 같다. 단진자의 주기도 작은 진폭으로 진동할 때는 진폭과 무관하다. 따라서 주기는 계의 조건으로 정해진다.

운동을 에너지로 보면 더 간단하다. 평형 위치에서는 변위가 0이므로 복원력이 0이고 속력이 최대가 된다. 운동 에너지가 최대인 순간은 평형 위치를 지날 때이다. 반대로 최대 변위 지점에서는 속도가 0이므로 운동 에너지가 0이고 에너지는 전부 퍼텐셜 에너지로 저장된다. 역학적 에너지가 보존되므로 두 지점의 에너지 값은 같다.

단진자의 경우 최고점에서 중력 퍼텐셜 에너지가 역학적 에너지와 같고, 최저점에서는 운동 에너지가 역학적 에너지와 같다. 최저점에서 추의 운동 에너지는 최대이고 중력 퍼텐셜 에너지는 최소이다. 두 값의 차이는 최고점과 최저점의 높이 차에 해당하는 위치 에너지의 차이다. 따라서 같은 높이에서 출발한 추의 최대 운동 에너지는 높이 차로 정해지고, 추의 질량과 높이가 같으면 같다. 최고점과 최저점의 높이 차를 알면 최대 속력을 계산할 수 있다. 최대 속력은 최저점에서 나타나며 역학적 에너지 보존으로 구한다. 실이 연직 방향과 이루는 각이 최대인 위치에서 최저점을 향해 내려갈수록 속력이 증가하고, 실이 수직인 최저점에서 속력이 가장 크다.

단진자의 주기는 공식으로 정리된다. 실의 길이를 L, 중력 가속도를 g라 하면 주기는 T=2\pi\sqrt{L/g}로 주어진다. 실이 길어지면 주기는 길어지고, 중력 가속도가 커지면 주기는 짧아진다. 두 주기를 비교할 때는 길이의 비와 중력 가속도의 비를 각각 제곱근으로 바꿔 계산하는 것이 기본이다.

용수철 진자의 주기는 T=2\pi\sqrt{m/k}로 나타낸다. 질량 m과 용수철 상수 k가 주기를 결정하고 진폭은 들어가지 않는다. 두 물체의 질량과 용수철 상수를 비교할 때는 질량의 제곱근과 용수철 상수의 제곱근을 비교하면 된다.

용수철이 자연 길이로 돌아와 두 물체가 분리되는 상황에서는 분리 순간 용수철의 길이가 자연 길이 L이 된다. 분리가 일어나면 단진동하는 물체는 분리 시점의 평형점을 기준으로 새로운 진동을 한다. 이 때 진폭은 분리 시점의 평형점 기준 변위로 정해진다.