등속 원운동과 구심력

핵심 정리

등속 원운동은 속력은 일정하지만 속도의 방향이 계속 변하는 운동이다. 따라서 속도는 일정하지 않고 가속도가 있다. 이 가속도는 접선 방향이 아니라 원의 중심을 향하며, 크기는 a_c=v^2/r=r\omega^2이다.등속 원운동에서 구심 가속도의 크기는 속력의 제곱을 반지름으로 나눈 값이다.

중심 방향의 가속도를 만들기 위해 물체에 작용하는 알짜힘의 중심 방향 성분을 구심력이라 한다. 구심력은 별도의 새로운 종류의 힘이 아니라, 장력·중력·수직항력·자기력 등 실제 힘이 원운동에서 맡는 역할을 가리킨다. 뉴턴 운동 법칙에 따라 F_c=ma_c=mv^2/r=mr\omega^2이다. 이 식에서 어떤 양을 고정했는지 먼저 확인해야 물체 사이의 속력이나 주기, 힘을 올바르게 비교할 수 있다.

주기 T는 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간이고, 각속도는 단위 시간 동안 회전한 각이다. 따라서 \omega=2\pi/T, v=r\omega=2\pi r/T이다. 같은 주기의 운동은 각속도가 같고, 같은 반지름에서는 주기가 짧을수록 속력이 크다. 같은 시간 동안 이동한 거리는 속력에 비례한다. 원운동을 좌표 성분이나 시간 그래프로 나타낼 때는 각속도와 회전 방향을 이용해 위치·속도·가속도의 성분이 어떻게 변하는지 판별한다.

자세히

등속 원운동에서 ‘등속’은 속력이 일정하다는 뜻이다. 물체가 원을 따라 움직이는 동안 속력의 크기는 일정할 수 있지만, 속도 벡터는 접선 방향을 따라 회전한다. 시간 간격이 짧더라도 속도 방향은 조금씩 달라지고, 두 속도 벡터의 차이는 중심 쪽을 향한다. 가속도는 속도 변화량의 방향과 크기로 정해지므로 구심 가속도는 원의 중심 방향이다. 속력의 크기가 변하지 않는 등속 원운동에는 접선 방향 가속도가 없고, 방향 변화에 해당하는 중심 방향 가속도만 고려한다.

구심 가속도의 크기를 얻는 데에는 두 가지 표현을 쓰면 편리하다. 속력과 반지름을 알면 a_c=v^2/r을 사용하고, 각속도와 반지름을 알면 a_c=r\omega^2를 사용한다. 두 식은 v=r\omega를 대입하면 서로 같아진다. 예를 들어 반지름을 고정하고 속력을 바꾸면 가속도는 속력 제곱에 따라 달라진다. 반대로 각속도를 고정하면 가속도는 반지름에 비례한다. 어떤 양을 고정하는지에 따라 비교 결과가 달라진다. 따라서 비례 관계를 외워 적용하기 전에 주어진 조건을 식에 넣어 확인해야 한다.

구심력은 가속도를 만드는 알짜힘의 중심 방향 성분이다. 물체에 실제로 작용하는 힘을 모두 그린 뒤, 그 힘들의 합이 중심을 향해 얼마인지 구한다. 줄에 매단 물체가 수평면에서 돌면 줄의 장력이 구심력 역할을 할 수 있고, 행성 주위를 도는 위성에서는 중력이 중심 방향 운동을 만든다. 자기장 안에서 원운동하는 하전 입자에서는 자기력이 그 역할을 할 수 있다. 따라서 ‘구심력’이라는 이름을 붙였다고 장력이나 중력과 별개인 힘을 하나 더 그리는 것은 아니다. 실제 힘의 합을 구심 방향과 다른 방향으로 나누어, 중심 방향 성분이 mv^2/r과 일치하는지 확인한다.

비교할 때는 힘의 식을 두 형태로 적어 두면 조건을 놓치기 어렵다.

표의 관계는 나머지 조건이 같을 때의 비교다. 예를 들어 반지름이 같은 두 운동에서 구심력이 크고 질량도 같다면 속력이 더 크다. 질량이 다르면 속력만으로 힘을 판단할 수 없다. 같은 구심력에서 반지름이 커질 때 주기가 길어지는 관계 역시 질량이 같은 비교인지 확인해야 한다. 문제에서 추의 개수나 매단 물체의 무게를 바꾸면 장력의 크기가 달라질 수 있으므로, 장력과 구심력이 같다고 둘 수 있는 방향과 상황을 먼저 따진다.

각속도와 주기, 속력 사이의 변환은 자료 해석의 출발점이다. 한 바퀴 회전하는 동안 각도는 2\pi이므로 \omega=2\pi/T이다. 같은 주기로 도는 두 물체의 각속도는 같다. 주기가 길어지면 각속도는 작아진다. 선속력은 v=r\omega이므로 각속도가 같더라도 반지름이 크면 속력이 커질 수 있다. 같은 반지름끼리 비교하면 주기가 짧은 물체가 더 빠르다. 또한 같은 시간 동안 움직인 호의 길이는 s=vt이므로 속력에 비례한다. 계산에서는 주기와 각속도를 혼동하지 않고, 회전한 횟수나 주어진 시간으로 먼저 주기를 구한 뒤 필요한 식에 연결한다.