포물선 운동의 성분 분석

핵심 정리

포물선 운동은 중력만 작용할 때 물체가 수평 방향과 연직 방향으로 함께 움직이는 운동이다. 공기 저항을 무시하면 수평 방향에는 힘이 작용하지 않아 속도가 일정하고, 연직 방향에는 아래쪽으로 중력이 작용해 가속도 크기가 g인 등가속도 운동을 한다. 두 방향의 운동은 서로 독립적으로 분석하지만 같은 시간 동안 일어난다는 조건으로 연결한다. 수평·연직 변위를 각각 구한 뒤 같은 시간 조건을 적용하면 위치와 속도를 판단할 수 있다.

초기 속력이 v_0이고 수평선과 이루는 각이 \theta라면, 초기 속도 성분은 v_{0x}=v_0\cos\theta, v_{0y}=v_0\sin\theta이다. 수평 속도 성분은 운동 내내 일정하다. 수평 속도 성분은 운동 내내 일정하다. 위쪽으로 던졌을 때 연직 속도 성분은 중력 때문에 점점 작아진다. 최고점에서 0이 된 뒤에는 아래쪽을 향하며 커진다. 최고점에서도 수평 성분은 처음 값 그대로다. 최고점의 수평 속도 성분은 처음 수평 속도 성분과 같다.

포물선 운동에서 속도는 수평·연직 성분을 합한 벡터다. 운동 방향은 계속 변하므로 속력이 일정한 등속도 운동이 아니다. 같은 높이에서 출발해 같은 높이에 도달하면 상승 시간과 하강 시간이 같다. 최고점에서는 속력이 가장 작다. 수평 발사에서는 처음 연직 속도가 0이므로 낙하 시간은 높이로 정해지고, 수평 이동 거리는 수평 속도와 시간의 곱이다.

자세히

포물선 운동을 풀 때는 먼저 물체에 작용하는 힘을 확인한다. 공기 저항을 무시하고 중력만 작용하면 물체가 수평으로 움직여도 중력은 연직 아래쪽을 향한다. 따라서 수평 방향 가속도는 0이고 연직 방향 가속도는 아래쪽으로 g이다. 실제 경로는 두 방향의 운동이 합쳐져 곡선이 되지만, 계산할 때는 두 축을 나눈다. 각 축에서 구한 운동 시간이 같다는 조건으로 두 운동을 연결한다.

수평 방향을 x축, 위쪽을 y축으로 잡으면 운동 시간 t 뒤의 위치 변화는 x=v_{0x}t, y=v_{0y}t-\frac12gt^2로 나타난다. 속도 성분은 v_x=v_{0x}, v_y=v_{0y}-gt이다. 여기서 y는 발사점에서 잰 연직 변위다. 착지점이 발사점보다 낮거나 높으면 그 차이를 부호와 함께 반영해야 한다. 축을 어떻게 정하는지에 따라 식의 부호는 달라질 수 있지만, 중력 가속도의 방향을 일관되게 적용해야 한다. 위치 식은 시간에 따른 이동을, 속도 식은 그 순간의 운동 상태를 나타낸다. 경로를 구할 때는 두 위치 성분이 같은 시간에 성립하도록 하고, 속력을 구할 때는 두 속도 성분을 결합한다.

비스듬히 던진 물체는 초기 속도를 수평과 연직 성분으로 나누어 분석한다. 발사각이 수평선 위쪽을 향하면 두 성분은 각각 v_0\cos\theta와 v_0\sin\theta이다. 수평 성분은 일정하지만 연직 성분은 중력 때문에 시간에 따라 변한다. 올라가는 동안 연직 속도의 크기는 줄어들고, 최고점에서 연직 성분은 0이 된다. 그 뒤 연직 속도는 아래쪽을 향하며 커진다. 최고점은 속도가 모두 0인 점이 아니라 연직 성분만 0인 점이다. 수평 성분이 남아 있으므로 물체는 그 순간에도 수평으로 움직인다.

최고점까지의 시간은 v_y=0을 연직 속도 식에 대입해 구한다. 최고점의 높이는 그 시간을 연직 위치 식에 넣거나 연직 방향 등가속도 운동 관계를 이용해 구할 수 있다. 연직 운동만 보면 처음 연직 속도는 v_{0y}이고 가속도는 아래쪽이다. 따라서 최고점 높이는 초기 속력 전체가 아니라 초기 속도의 연직 성분으로 결정된다. 비스듬히 던진 물체의 최고점 높이는 초기 속도의 연직 성분을 제곱해 2g로 나눈 값이다. 높이를 구할 때 수평 성분까지 포함한 전체 속력을 넣으면 안 된다. 수평 성분은 연직 운동에 영향을 주지 않기 때문이다.

같은 높이에서 던져 같은 높이에 도달하면 연직 운동은 대칭이다. 중력 가속도가 일정하고 출발점과 도착점의 높이가 같으므로, 올라갈 때와 내려올 때 연직 속도 변화가 대응한다. 따라서 최고점까지 걸린 시간과 최고점에서 출발 높이까지 돌아오는 시간은 같다. 최고점까지 걸린 시간과 최고점에서 같은 높이인 착지점까지 걸린 시간은 같다. 최고점에서 연직 속도 성분은 0이다. 착지점의 높이가 출발점과 다르면 두 시간은 일반적으로 같지 않다. 대칭 관계를 적용하기 전에 두 점의 높이를 확인해야 한다.

수평 발사는 초기 연직 속도 성분이 0인 비스듬한 발사로 볼 수 있다. 발사 높이와 착지점 사이의 낙하 높이를 h라 하면, 연직 변위 조건은 h=\frac12gt^2이다. 따라서 낙하 시간은 높이로 결정되며 높이의 제곱근에 비례한다. 수평 속도는 일정하므로 수평 이동 거리는 x=v_xt이다. 수평 속도가 클수록 같은 시간 동안 더 멀리 이동하지만, 수평 속도 자체는 낙하 시간을 바꾸지 않는다. 높이와 수평 속도를 각각 이용해 시간과 위치를 구한 뒤 두 결과를 연결한다.