벡터와 운동의 표현

핵심 정리

운동을 설명할 때는 물체의 위치가 시간에 따라 어떻게 바뀌는지 살핀다. 위치는 기준점에 대한 물체의 자리이고, 변위는 처음 위치에서 나중 위치로 향하는 위치의 변화다. 따라서 변위는 방향과 크기를 가진 벡터량이다. 이동 거리는 물체가 실제로 지나간 경로의 길이를 모두 더한 값으로, 방향이 없는 스칼라량이다. 이동 거리는 경로 길이이며, 이동 거리는 변위의 크기보다 크거나 같다.

평균 속력은 전체 이동 거리를 전체 걸린 시간으로 나눈 값이고, 평균 속도는 변위를 걸린 시간으로 나눈 벡터량이다. 평균 속도의 방향은 변위의 방향과 같다. 평균 속력은 이동 거리를 시간으로 나눈 값이고, 평균 속도의 크기는 변위의 크기를 시간으로 나눈 값이다. 곡선 경로에서는 이동 거리가 변위의 크기보다 크므로 평균 속력과 평균 속도의 크기가 서로 다르다. 평균 속도는 시작점에서 끝점으로 향하는 변위 방향을 따르며, 중력이나 경로의 어느 한 부분의 방향을 뜻하지 않는다.

속도는 위치가 시간에 따라 변하는 정도를 나타내는 벡터량이다. 속도의 크기를 속력이라 한다. 가속도는 속도가 시간에 따라 변하는 정도를 나타내는 벡터량이다. 속력뿐 아니라 운동 방향이 변해도 속도 벡터가 변하므로 가속도가 생긴다. 그러므로 속력이 일정하다는 사실만으로 속도가 일정하다고 판단할 수 없다. 곡선 운동에서는 운동 방향이 시간에 따라 달라질 수 있고, 속도 방향이 변하는 운동은 등속도 운동이 아니다.

자세히

운동을 분석하는 첫 단계는 기준을 정하고 위치를 읽는 것이다. 한 직선 위의 운동이라면 한 방향을 양의 방향으로 정하고 위치를 부호가 있는 값으로 나타낼 수 있다. 평면 운동에서는 두 축을 정해 위치를 좌표로 나타낸다. 위치가 어느 방향을 기준으로 얼마만큼 떨어져 있는지를 알려 준다면, 두 시각 사이의 변위는 나중 위치에서 처음 위치를 뺀 벡터다. 시작 위치와 끝 위치가 정해지면 변위는 경로의 중간 모양과 무관하게 하나로 정해진다. 반면 이동 거리는 실제로 지나간 경로를 따라 잰 길이를 더한다. 되돌아간 구간도 이동 거리에 포함되지만, 변위는 시작점과 끝점만으로 결정된다.

이동 거리와 변위를 구별할 때는 경로를 그려 보면 도움이 된다. 출발점과 도착점을 곧은 선으로 이은 길이는 변위의 크기이고, 물체가 실제로 지난 선을 따라 잰 길이는 이동 거리다. 곧은 경로로 한 방향으로 움직이면 두 값이 같을 수 있다. 경로가 휘거나 되돌아가는 구간이 있으면 실제 경로의 길이가 두 점 사이 직선 거리보다 길어진다. 따라서 이동 거리는 변위의 크기보다 크거나 같고, 경로가 굽은 경우에는 변위의 크기보다 크다. 곡선 운동에서 변위의 크기가 이동 거리보다 작거나 같다는 표현도 같은 관계를 말한다.

두 값을 구하는 절차는 서로 다르다. 이동 거리를 구할 때는 운동 구간을 따라 이동한 각 부분의 길이를 합한다. 변위의 크기를 구할 때는 시작 위치와 끝 위치의 차이를 벡터로 구한 다음 그 벡터의 크기를 계산한다. 예를 들어 평면에서 처음 좌표와 나중 좌표가 주어지면 각 축 방향의 위치 차이를 먼저 구하고, 그 차이를 성분으로 하는 변위 벡터를 만든다. 경로가 곡선으로 제시되었어도 변위 계산에는 경로 전체의 길이를 넣지 않는다. 반대로 이동 거리를 계산할 때는 시작점과 끝점 사이 직선 거리만으로 대신할 수 없다. 보기에서 이동 거리와 변위라는 말이 각각 무엇을 가리키는지 확인한 뒤 계산식을 정해야 한다.

평균 속력과 평균 속도는 같은 시간 구간에 대한 운동을 요약하지만 분자는 서로 다르다. 평균 속력은 전체 이동 거리를 전체 시간으로 나눈 스칼라량이다. 평균 속도는 변위를 전체 시간으로 나눈 벡터량이다. 평균 속도의 크기는 변위의 크기를 전체 시간으로 나눈 값이므로, 평균 속력과 평균 속도의 크기를 비교하려면 먼저 이동 거리와 변위의 크기를 비교한다. 이동 거리가 변위의 크기보다 큰 경로에서는 평균 속력이 평균 속도의 크기보다 크다. 두 값이 같아지는 경우는 이동 거리와 변위의 크기가 같은 경로에서다. 이 비교는 순간순간의 속력이나 속도를 비교하는 것이 아니라 지정된 전체 시간 구간의 평균값을 비교하는 것이다.