물질파와 전자 현미경

핵심 정리

물질파는 입자에 대응하는 파동이며, 그 파장은 드브로이 관계 \lambda=h/p=h/(mv)로 나타낸다. 여기서 h는 플랑크 상수, p는 운동량, m은 질량, v는 속력이다. 따라서 다른 조건이 같을 때 운동량이 클수록 물질파 파장은 짧다. 물질파 파장은 운동량에 반비례한다. 같은 입자에서는 질량이 일정하므로 속력이 커질수록 운동량이 커지고 물질파 파장은 짧아진다.

운동량과 운동 에너지는 서로 다른 물리량이므로, 파장을 비교할 때 무엇이 같다고 주어졌는지 먼저 확인해야 한다. 운동 에너지가 같으면 질량이 작은 입자의 속력이 더 크다. 같은 운동 에너지에서 질량이 클수록 물질파 파장은 짧다. 반대로 속력이 같으면 질량이 작을수록 물질파 파장이 길다. 파장이 같으면 운동량이 같고, 운동 에너지는 질량이 작은 입자에서 더 크다.

물질파 파장이 짧을수록 더 작은 구조를 구분할 수 있어 분해능이 높다. 전자 현미경은 전자의 물질파를 이용하므로 가시광선을 이용하는 광학 현미경보다 분해능이 좋다. 투과 전자 현미경에서는 전자 빔이 시료를 통과하면서 상을 만든다. 자기렌즈는 자기장으로 전자의 진행 경로를 휘게 한다.

자세히

물질파의 관계식은 입자의 파장과 운동량을 연결한다. 운동량의 크기를 p라 하면 파장은 \lambda=h/p이다. 플랑크 상수는 비교하는 입자들 사이에서 같은 값이므로, 운동량이 두 배가 되면 파장은 절반이 된다. 파장 비를 구할 때는 운동량 비를 거꾸로 뒤집는다. 반대로 파장이 짧은 입자를 찾는 문제라면 그 입자의 운동량이 더 크다고 판단한다. 이 관계는 파장과 운동량 사이의 관계이지, 파장과 운동 에너지가 언제나 단순히 반비례한다는 뜻은 아니다. 운동 에너지 자료가 주어지면 질량도 함께 살펴 운동량을 판단해야 한다.

질량과 속력으로 운동량을 나타내면 p=mv이고, 따라서 드브로이 관계는 \lambda=h/(mv)가 된다. 같은 속력으로 움직이는 두 입자라면 질량이 작은 입자의 운동량이 작고 파장은 길다. 반대로 같은 질량의 입자끼리는 속력이 큰 쪽의 운동량이 크고 파장은 짧다. 이때는 속력이 같은지, 질량이 같은지 먼저 확인해야 한다. 조건을 놓치면 파장의 대소를 거꾸로 판단할 수 있다. 그래프에서 파장의 역수 1/\lambda를 질량이나 속력에 대해 나타내면, 1/\lambda=p/h=mv/h를 이용해 기울기나 같은 값의 의미를 해석할 수 있다. 다만 그래프의 축과 고정된 조건을 먼저 확인해야 하며, 파장 자체와 파장의 역수를 혼동하면 안 된다.

운동 에너지로 비교할 때는 질량에 따른 속력 차이가 함께 작용한다. 고전적인 운동 에너지 관계 E_k=mv^2/2에서 운동 에너지가 같으면 속력은 질량이 작을수록 커진다. 같은 운동 에너지에서 질량이 작은 입자의 운동량은 더 작으므로 파장은 더 길고, 질량이 큰 입자의 운동량은 더 커서 파장은 더 짧다. 관계를 식으로 정리하면 p=\sqrt{2mE_k}, 따라서 \lambda=h/\sqrt{2mE_k}이다. 이 식은 운동 에너지가 같다는 조건에서 질량이 큰 입자의 파장이 짧아짐을 보여 준다. 반면 운동량이 같을 때는 E_k=p^2/(2m)이므로 질량이 작은 입자의 운동 에너지가 크다. 운동량을 같게 하는 조건과 운동 에너지를 같게 하는 조건은 서로 다른 비교이며, 한 조건에서 얻은 결론을 다른 조건에 적용해서는 안 된다.