역학적 에너지 보존

핵심 정리

역학적 에너지는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이다. 높이와 속력이 달라져도 두 에너지의 합이 일정하게 유지되는 조건을 찾는 데서 이 개념을 시작한다. 중력이나 용수철의 탄성력처럼 보존력만 작용할 때 역학적 에너지는 보존된다. 퍼텐셜 에너지의 기준면은 편리하게 정할 수 있지만, 한 문제 안에서는 같은 기준을 써야 한다.

중력 퍼텐셜 에너지는 mgh, 운동 에너지는 \frac12mv^2, 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지는 \frac12kx^2로 나타낸다. 따라서 중력과 용수철의 탄성력만 작용하는 계에서는 K+U_g+U_s가 일정하다. 용수철 에너지는 원래 길이에서 압축하거나 늘어난 길이의 제곱에 비례한다.

에너지 보존식은 처음 상태와 나중 상태를 직접 연결한다. 중력 퍼텐셜 에너지가 줄어든 만큼 운동 에너지가 늘어나는 경우 두 변화량의 크기는 같다. 마찰처럼 역학적 에너지를 다른 형태로 바꾸는 힘이 있으면 그 힘이 한 일을 반영해야 한다. 계에 작용하는 비보존력이 일을 하지 않고 계 내부에서도 역학적 에너지가 다른 형태로 바뀌지 않을 때 역학적 에너지가 보존된다.

마찰력만 역학적 에너지에 일을 하는 경우, 역학적 에너지는 감소하고 그 감소량은 마찰력이 한 일의 크기와 같다. 실로 연결된 여러 물체를 하나의 계로 잡으면 장력은 내부 작용이므로 물체별로 한 일이 합에서 상쇄될 수 있다. 물체 하나만 계로 잡으면 장력은 외력이다. 식을 세우기 전에 계의 경계와 힘이 한 일을 정해야 한다.

자세히

역학적 에너지 보존 문제에서는 공식을 대입하기 전에 계를 정하고 작용하는 힘을 확인한다. 물체의 처음 상태와 나중 상태를 나누고, 각 상태의 높이·속력·용수철 변형을 표시한다. 이어서 물체 하나 또는 여러 물체의 묶음 중 무엇을 계로 삼을지 정한다. 마지막으로 계에 작용하는 힘 가운데 역학적 에너지를 바꾸는 힘이 있는지 확인한다. 중력과 이상적인 용수철의 탄성력은 위치에 따른 퍼텐셜 에너지를 정할 수 있는 보존력이다. 마찰력은 역학적 에너지를 다른 형태로 바꾼다. 장력은 계의 경계에 따라 외력일 수도 내부 작용일 수도 있다.

한 물체의 운동에서 운동 에너지는 속력에 따라 달라지고, 중력 퍼텐셜 에너지는 기준면에서의 높이에 따라 달라진다. 용수철이 있으면 변형에 따른 탄성 퍼텐셜 에너지도 더한다. 각 상태의 역학적 에너지를 E=K+U_g+U_s로 나타내면, 에너지가 보존될 때 E_i=E_f이다. 아래첨자 i와 f는 각각 처음과 나중을 뜻한다. 이 식은 어느 순간의 속도나 높이를 미리 몰라도 두 상태의 관계를 알려 준다. 한 상태에서 속력이 0이면 운동 에너지를 0으로 둔다. 용수철이 원래 길이면 탄성 퍼텐셜 에너지도 0으로 둘 수 있다. 높이의 기준은 임의로 골라도 되지만 처음과 나중에 같은 기준을 써야 한다. 기준을 바꾸면 퍼텐셜 에너지의 각 값은 달라져도 두 상태의 에너지 차이는 변하지 않는다.

마찰이 없는 경사면을 따라 물체가 내려오면 높이가 낮아지면서 중력 퍼텐셜 에너지가 감소한다. 감소한 에너지는 운동 에너지로 바뀌어 속력이 커진다. 물체가 경사면을 올라가면 운동 에너지가 중력 퍼텐셜 에너지로 바뀌어 속력이 줄어든다. 높이가 같은 두 지점에서는 중력 퍼텐셜 에너지가 같다. 역학적 에너지가 보존되면 운동 에너지도 같으므로 속력도 같다. 이 관계는 한 물체가 같은 역학적 에너지를 유지하며 움직일 때 적용된다. 서로 다른 물체의 속력을 비교할 때는 질량과 각 물체의 에너지 상태도 확인해야 한다.

마찰력이 역학적 에너지에 일을 하면 처음과 나중의 역학적 에너지를 같다고 둘 수 없다. 마찰력이 물체의 운동 방향과 반대로 일을 하고 다른 에너지 전달이 없으면 역학적 에너지가 감소한다. 그 감소량은 마찰력이 한 일의 크기와 같다. 마찰 구간을 지난 뒤 물체의 역학적 에너지는 손실된 에너지에 해당하는 만큼 감소한다. 따라서 이동 경로에 마찰 구간이 있으면 구간 전후의 역학적 에너지를 같게 두지 말고 마찰이 한 일을 반영한다. 마찰이 없는 구간끼리 따로 비교할 수 있는지 확인하면 계산을 간결하게 할 수 있다.

계의 경계를 바꾸면 장력의 역할도 달라진다. 연결된 물체 하나만 계로 잡으면 실의 장력은 계 바깥에서 작용하므로 그 물체의 역학적 에너지를 바꿀 수 있다. 장력이 양의 일을 하면 물체의 역학적 에너지는 증가한다. 실로 연결된 여러 물체를 모두 계에 포함하면 장력은 물체들 사이에서 주고받는 에너지에 해당한다. 여러 물체의 역학적 에너지 변화량을 합하면 장력이 한 일이 상쇄되고 외력이 한 일이 남는다. 그러므로 한 물체의 운동 에너지 감소량을 다른 물체의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량과 곧바로 같다고 둘 수 없다. 장력이 한 일도 함께 따져야 한다.

실로 연결된 물체의 가속도를 구할 때는 에너지 보존과 뉴턴 운동 법칙의 적용 대상을 구분한다. 실의 길이가 일정해 두 물체의 가속도 크기가 같더라도, 두 물체를 하나의 계로 묶을 때는 각 물체의 운동 방향을 정하고 외력을 그 방향에 맞게 부호를 붙여야 한다. 그러면 장력은 계 안에서 상쇄되고, 전체 질량과 계 방향 알짜힘으로 가속도를 구할 수 있다. 에너지 변화량을 묻는 문제와 가속도나 장력을 묻는 문제는 필요한 관계식이 다를 수 있다. 에너지식은 상태 사이의 변화를 연결하고, 힘의 합은 운동 상태의 순간적인 변화를 다룬다. 문제에서 구하는 양에 맞는 관계식을 선택한다.