운동량과 충격량

핵심 정리

물체의 운동량은 질량과 속도의 곱이며, 방향은 속도 방향과 같다. 운동량은 벡터량이므로 한 직선에서 운동하는 물체라도 방향을 부호로 나타내어 계산한다. 운동량의 크기는 질량과 속력의 곱이다. 같은 속력에서는 질량이 클수록 운동량의 크기가 크고, 같은 운동량의 크기에서는 질량이 클수록 속력이 작다.

물체의 운동량이 변하려면 힘이 작용해야 한다. 물체가 받은 충격량은 운동량 변화량과 같으며, 질량이 일정하면 속도 변화량에 질량을 곱한 값이다.충격량은 운동량 변화량과 같다. 운동량 변화량과 충격량은 방향까지 고려하는 벡터량이며, 크기를 비교할 때는 각각의 크기를 비교한다. 힘이 일정하면 충격량은 힘과 작용 시간의 곱이고, 힘이 시간에 따라 변하면 힘-시간 그래프 아래의 부호 있는 면적으로 구한다.

계에 작용하는 외력이 없거나 무시할 수 있으면 계의 전체 운동량은 보존된다. 따라서 충돌 전후 운동량의 합이 같고, 분리 과정에서도 각 물체의 운동량을 부호와 함께 합하면 분리 전 운동량과 같다. 운동량 보존은 개별 물체의 운동량이 변하지 않는다는 뜻이 아니다. 두 물체가 주고받는 힘과 충격량을 고려하면 각 물체의 운동량은 달라질 수 있지만, 계 전체의 합은 일정하다.

자세히

운동량은 물체의 운동 상태를 질량과 속도를 함께 사용해 나타내는 양이다. 질량을 m, 속도를 v라 하면 운동량은 p=mv로 쓴다. 속도는 방향을 포함하므로 운동량도 방향을 포함한다. 한 방향을 양의 방향으로 정하면 반대 방향의 속도와 운동량은 음수로 표시한다. 계산에서 질량과 속력만 곱해 운동량의 크기를 구한 뒤, 방향을 별도로 붙이는 방식도 가능하다. 다만 방향이 반대인 물체를 비교하거나 충돌 전후를 연결할 때는 부호를 빼먹지 않아야 한다.

운동량의 크기는 질량과 속력의 곱이다. 따라서 질량이 같다면 속력이 큰 물체의 운동량 크기가 크고, 속력이 같다면 질량이 큰 물체의 운동량 크기가 크다. 반대로 운동량 크기가 같다는 조건에서는 질량과 속력이 서로 반비례한다. 예를 들어 두 물체의 운동량 크기가 같고 한 물체의 질량이 더 크다면, 그 물체의 속력은 더 작다. 운동량의 크기만 같다는 사실로 속력까지 같다고 결론 내릴 수는 없다. 속도가 아니라 속력의 비를 묻는 문제에서는 운동 방향의 부호를 계산에 반영한 다음, 마지막에 크기를 비교해야 한다.

힘이 물체에 작용하면 운동량이 변한다. 물체가 받은 충격량은 그 물체의 운동량 변화량이다. 운동량 변화량은 나중 운동량에서 처음 운동량을 뺀 값이므로, 방향이 바뀌는 충돌에서는 속력의 차이만으로 계산하면 안 된다. 먼저 각 순간의 속도를 방향과 함께 표시하고, 운동량을 구한 다음, 나중 값에서 처음 값을 빼야 한다. 질량이 일정하면 운동량 변화량은 질량에 속도 변화량을 곱한 값이다. 속도 변화량의 크기에 질량을 곱하면 운동량 변화량의 크기가 된다. 속력 변화량만으로는 운동량 변화량의 크기를 구할 수 없다. 방향이 바뀌면 속력 변화량과 속도 변화량의 크기가 다를 수 있기 때문이다.

힘이 일정한 동안에는 충격량의 크기를 힘의 크기와 작용 시간의 곱으로 구할 수 있다. 힘이 일정하지 않다면 순간의 힘 하나를 골라 시간과 곱하는 방식으로 충격량을 구할 수 없다. 대신 힘-시간 그래프를 사용해 작용 시간 동안 그래프와 시간축 사이의 면적을 구한다. 그래프가 시간축 아래에 놓인 구간은 선택한 양의 방향에 대해 음의 충격량을 나타낸다. 여러 구간의 충격량을 합할 때는 각 면적의 부호를 유지한다. 방향을 무시하고 충격량의 크기만 구하라는 물음이라면, 먼저 부호를 포함한 합을 구하고 그 결과의 크기를 취한다.

이렇게 구한 충격량은 운동량 변화량과 같으므로, 힘-시간 그래프 문제는 그래프 해석과 운동량 계산을 연결하는 문제다. 그래프 면적을 구한 뒤 그것을 초기 운동량에 더하면 최종 운동량을 구할 수 있다. 또는 최종 운동량과 초기 운동량의 차를 구해 충격량을 확인할 수 있다. 속도 변화량의 크기를 구하는 경우에는 충격량의 크기를 질량으로 나눈다. 이때 결과는 속도 변화량의 크기이지 최종 속력 자체가 아니다. 운동 방향이 바뀌었는지 확인하고, 초기 속도에 변화량을 방향을 고려해 적용해야 최종 속도나 속력을 얻는다.