가속도와 등가속도 직선 운동

핵심 정리

속도는 운동 방향을 포함하는 물리량이고, 속력은 속도의 크기다. 직선 운동에서는 기준 방향을 정해 속도와 가속도의 부호로 운동 상태를 나타낸다. 가속도는 속도의 시간에 따른 변화율이다. 속력의 증가·감소는 가속도의 부호만으로 판단할 수 없다. 속력은 운동 방향과 가속도 방향이 같을 때 증가하고, 두 방향이 반대일 때 감소한다.

등가속도 직선 운동은 가속도가 일정한 직선 운동이다. 이때 같은 시간 동안 속도 변화량이 같으므로 속도-시간 그래프는 직선이고, 그래프의 기울기는 가속도다. 위치는 시간의 이차 함수로 나타나며, 속도-시간 그래프 아래의 부호를 고려한 넓이는 변위다. 이동 거리는 운동 방향이 바뀌지 않는 구간에서는 넓이의 크기와 같다. 방향이 바뀌면 구간을 나누어 각 넓이의 크기를 더한다. 처음 속도가 0이고 운동 방향이 바뀌지 않는 등가속도 운동에서는 이동 거리가 시간의 제곱에 비례한다.

초기 속도를 v_0, 가속도를 a, 처음 위치를 x_0라고 하면 시간 t 뒤의 속도는 v=v_0+at, 위치는 x=x_0+v_0t+\frac12at^2다. 변위 \Delta x와 속도 사이에는 v^2-v_0^2=2a\Delta x의 관계가 있다. 이 식은 부호가 있는 속도·가속도·변위를 사용하므로, 속력이나 이동 거리를 구할 때는 운동 방향과 구간을 따로 살펴야 한다.

자세히

운동을 분석할 때는 먼저 기준 방향을 정한다. 그 방향으로 움직이는 속도는 양수, 반대 방향의 속도는 음수로 나타낸다. 가속도도 같은 기준에 따라 부호를 정한다. 물체가 양의 방향으로 움직이며 가속도가 음수이면 속력이 줄 수 있다. 반대로 물체가 음의 방향으로 움직이며 가속도도 음수이면 속력이 커질 수 있다. 속력은 방향을 제외한 크기이므로 가속도의 부호만 보고 속력의 증가 여부를 판단해서는 안 된다. 방향을 바꾸는 순간 속도는 0이 된다. 그 순간을 경계로 운동 방향과 속력 변화를 확인한다.

등가속도는 속도가 일정하다는 뜻이 아니라 속도의 변화율이 일정하다는 뜻이다. 가속도가 일정하면 같은 시간 간격마다 속도 변화량이 같다. 속도-시간 그래프에서 이 변화량은 직선의 기울기로 나타난다. 기울기가 양수이면 속도값이 커지고 음수이면 작아진다. 속도가 음수인 동안 속도값이 작아져도 속력은 커질 수 있다. 따라서 그래프가 내려간다는 사실만으로 속력이 감소한다고 판단할 수 없다. 그래프의 기울기는 가속도를, 세로 좌표는 그 순간의 속도를 나타낸다. 가속도가 0이면 속도가 변하지 않는 등속도 운동이다.

위치-시간 그래프에서는 같은 시간 간격 동안 위치가 얼마나 변했는지 살핀다. 등가속도 운동의 위치는 시간에 대한 이차 함수이므로 그래프는 일반적으로 곡선이다. 위치 식에서 t^2 항의 계수는 가속도에 대응한다. 시간에 따른 위치 변화량의 이차 계수의 크기가 클수록 가속도의 크기도 크다. 그래프가 위쪽 또는 아래쪽으로 휘는 모습은 선택한 좌표축에서 가속도의 부호를 보여 준다. 곡선의 기울기는 속도다. 두 물체의 위치 그래프를 비교할 때는 위치와 기울기, 휘어진 방향을 구분한다.

속도-시간 그래프의 넓이로 변위를 구할 수 있다. 그래프가 시간축 위에 있으면 넓이는 양의 변위이고, 아래에 있으면 음의 변위다. 그래프가 직선인 등가속도 운동에서는 처음 속도와 나중 속도의 평균에 시간을 곱해도 변위를 구할 수 있다. 이동 거리는 변위와 다르다. 방향이 바뀌면 서로 다른 방향의 변위는 상쇄되지만 이동 거리는 각 구간의 이동 거리를 더한다. 그래프가 시간축을 가로지르면 교차 시각을 찾아 구간을 나누고 각 넓이의 크기를 합한다. 처음 속도가 0이고 운동 방향이 바뀌지 않는 등가속도 운동에서는 이동 거리가 가속도의 크기와 시간의 제곱에 비례한다.

같은 거리를 이동하는 두 운동을 비교할 때는 평균 속력을 본다. 이동 거리가 같으면 걸린 시간은 평균 속력에 반비례한다. 이는 일정한 속력으로 운동하는 경우뿐 아니라 각 구간의 평균 속력을 올바르게 비교할 수 있을 때도 유용하다. 등가속도 운동의 한 지점에서 속력을 비교할 때는 각 물체의 초기 속도와 가속도, 그 지점까지의 변위를 함께 고려해야 한다. 초기 속도 조건 없이 가속도와 이동 거리만으로 두 물체의 속력 비를 정할 수는 없다. 속력과 위치가 언제나 같은 비율로 변한다고 가정하지 말고, 속도 변화와 이동 거리의 관계를 식이나 그래프로 확인한다.

등가속도 운동에서 위치와 속도의 관계를 구하려면 시간 식에서 시간을 없앤다. v=v_0+at와 \Delta x=v_0t+\frac12at^2를 연결하면 v^2-v_0^2=2a\Delta x가 된다. 시간 정보 없이 이동 거리와 속력만 주어진 문제에서 유용한 관계다. 속도는 부호를 가진 값이고 속력은 그 크기이므로, 식을 적용한 뒤 실제 운동 방향과 가능한 해를 확인한다. 등가속도로 감속해 최고점에 이르는 운동에서는 최고점에서 속도가 0이다. 처음 속도와 가속도의 부호가 반대일 때 속도 식으로 최고점까지 걸린 시간을 구하고, 위치 식이나 속도-변위 식으로 이동 거리를 구한다. 최고점까지 운동 방향이 바뀌지 않는다면 이동 거리는 초속도의 제곱을 가속도 크기의 두 배로 나눈 값이다.