공간좌표와 구

핵심 정리

좌표공간은 서로 수직인 세 축 x축, y축, z축으로 이루어진 공간이며, 점은 (x,y,z) 순서쌍으로 나타낸다. 두 점 A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2) 사이의 거리는 다음과 같다.

\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

이 식은 피타고라스 정리를 두 번 쓴 것이다. 수평 거리를 먼저 구하고 그 값과 z좌표 차이를 직각삼각형의 두 변으로 놓으면 같은 식이 나온다. 두 점 사이의 거리는 각 좌표 차이의 제곱합에 루트를 씌운 값이다.

선분 AB의 중점 좌표는 두 점의 같은 성분끼리 성분별 산술평균이다.

점 A에서 B 쪽으로 m:n 내분하는 점은 \frac{nA+mB}{m+n}이고, 같은 비로 외분하는 점은 \frac{-nA+mB}{m-n}이다. 내분점은 두 점을 잇는 가중평균이라 선분 위에 놓이고, 외분점은 한쪽 점에 음의 가중치가 붙어 선분 밖에 놓인다.

좌표평면이나 좌표축, 원점을 기준으로 대칭이동할 때는 기준에 따라 부호가 바뀌는 좌표의 개수가 정해져 있다. 좌표평면에 대한 대칭이동은 그 평면에 수직인 좌표 하나만, 좌표축에 대한 대칭이동은 나머지 두 좌표가, 원점에 대한 대칭이동은 세 좌표가 모두 부호가 바뀐다.

중심이 (a,b,c)이고 반지름이 r인 구는 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2이다. 일반형으로 주어지면 제곱항을 완성해 중심과 반지름을 읽는다.

점과 평면 사이의 거리는 평면 ax+by+cz+d=0과 점 (x_0,y_0,z_0)에 대해 \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}이다. 구와 평면이 접하면 중심과 평면 사이의 거리가 반지름과 같다.

구를 평면으로 자른 단면은 원이다. 구의 반지름을 R, 중심에서 평면까지의 거리를 d라 하면 단면 원의 반지름은 루트(R²−d²)이다.

자세히

거리 공식이 나오는 과정을 따라가면 이후 계산이 쉬워진다. 점 A(x_1,y_1,z_1)과 B(x_2,y_2,z_2)에 대해 점 C(x_2,y_2,z_1)를 잡으면 C는 B의 바로 아래(또는 위) 점이 되고, 선분 AC는 xy평면과 나란하다. 따라서 \overline{AC}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}이고, \overline{BC}=|z_2-z_1|이다. 각 ACB가 직각이므로 \overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2이 되고, 양변에 제곱근을 씌우면 앞의 공식이 나온다. 같은 식은 벡터 \overrightarrow{AB}의 크기로도 얻어지므로, 거리 문제는 벡터 문제로 바꿔 풀 수 있다. 벡터 \overrightarrow{AB}의 성분은 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 빼서 얻는다.

좌표 차이는 제곱하므로 부호와 무관하다는 점이 중요하다. 그래서 z_2-z_1이 음수여도 식에 그대로 넣으면 되고, 부호를 먼저 따질 필요가 없다. 한 점을 원점에 두거나 직각 꼭짓점을 축 위에 놓으면 많은 성분이 0이 되어 계산이 줄어든다.

좌표평면이나 좌표축에 대한 대칭이동은 점의 좌표 부호를 바꾸는 일이다. 점 P를 xy평면에 대하여 대칭이동한 점은 P에서 평면까지 같은 거리만큼 반대편에 놓이므로, z좌표만 부호가 바뀌고 x, y좌표는 그대로다. yz평면과 zx평면도 같은 논리로 x좌표, y좌표만 바꾼다. 다음 표는 점 (2,1,3)의 상을 기준별로 정리한 것이다.

내분과 외분은 공식의 모양이 비슷해 혼동되기 쉽다. 내분점은 분자의 두 계수가 모두 양수이고 합이 m+n이라 선분 사이에 있다. 외분점은 분자에 음수 계수가 붙어 선분 밖에 놓인다. 예를 들어 3:2 외분점은 \frac{-2A+3B}{1}=3B-2A이므로 분모가 1이 되어 계산이 간단해진다. 외분점 문제에서는 3B-2A처럼 바로 쓰는 편이 빠르다.외분점은 선분 밖에 놓인다.

구의 일반형은 제곱항을 완성해 중심과 반지름을 얻는다. y^2+2y에 1을 더해 (y+1)^2을 만들면 그만큼 상수항에도 1을 더해야 한다. 예를 들어 x^2+y^2+z^2+2y=3은 x^2+(y+1)^2+z^2=4가 되어 중심 (0,-1,0), 반지름 2가 드러난다. 상수항을 옮기는 과정에서 부호를 놓치기 쉬우므로 완성 뒤에 중심을 다시 대입해 확인하는 것이 안전하다.