벡터의 연산과 성분

핵심 정리

평면벡터 \vec{a} 는 좌표로 \vec{a}=(a_1,\,a_2) 처럼 순서쌍으로 적고, a_1 을 x성분, a_2 를 y성분이라 한다. 벡터의 덧셈·뺄셈·실수배는 성분끼리 계산한다. 이 계산들은 모두 같은 규칙에서 나온다.

• 덧셈·뺄셈: \vec a\pm\vec b=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2) 이다.
• 실수배: k\vec a=(ka_1,\ ka_2) 이다.
• 같음: \vec a=\vec b 이면 a_1=b_1 이고 a_2=b_2 이다.
• 시점과 종점: \mathrm{A}(x_1,y_1), \mathrm{B}(x_2,y_2) 이면 \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1) 이다.
• 크기: |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} 이다.

이 규칙이 성립하는 까닭은 \vec a=a_1\vec e_1+a_2\vec e_2 로 쓸 수 있기 때문이다. 여기서 \vec e_1=(1,0), \vec e_2=(0,1) 은 x축과 y축 방향의 단위벡터다. 덧셈과 실수배는 계수끼리 같은 계산을 하므로 계수인 성분이 그대로 계산된다. 점을 나누는 문제는 내분점과 외분점 공식으로 바뀐다. 두 점 A, B 를 m:n 으로 내분하는 점은 \dfrac{n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m+n} 이고, m\ne n 일 때 외분하는 점은 \dfrac{-n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m-n} 이다.

자세히

위치벡터부터 짚는다. 원점 O 를 시점으로 하는 벡터 \overrightarrow{\mathrm{OP}} 의 성분은 점 P 의 좌표와 같다. 그래서 점의 좌표를 이용한 계산을 위치벡터의 성분 계산으로 나타낼 수 있다. 두 점 사이의 벡터는 종점에서 시점을 뺀다 로 얻는다. 시점이 달라도 방향과 길이가 같은 벡터는 성분이 같으므로, 벡터의 방향과 길이를 유지한 채 시점을 원점으로 옮겨 생각할 수 있다. 이 사실이 벡터의 같음을 성분의 같음으로 바꾸는 근거다.

실수배의 뜻을 보면 k>0 이면 같은 방향이고 크기는 |k| 배가 된다. k<0 이면 방향이 반대가 된다. 그래서 |k\vec a|=|k|\,|\vec a| 가 성립하고, 성분 식 k\vec a=(ka_1,\ ka_2) 와 맞아떨어진다. 벡터를 실수배할 때는 한 성분만 바꾸어서는 안 된다. 각 성분에 같은 실수를 곱해야 한다. 그러므로 모든 성분에 실수를 곱한다 는 점을 계산할 때마다 확인한다.

평행 조건도 본다. \vec a\ne\vec 0 일 때 \vec b 가 \vec a 와 평행하면 \vec b=k\vec a 인 실수 k 가 있다. 성분으로 쓰면 a_1b_2-a_2b_1=0 과 같다. 평행과 수직은 식이 다르다. 평행은 성분의 교차곱이 0 이고, 수직은 내적 a_1b_1+a_2b_2=0 이다. 삼각함수가 섞인 평행 조건도 같은 교차곱으로 푼다.

내분점과 외분점은 다음처럼 비교한다.

공식은 이렇게 유도된다. 점 P 가 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}} 를 만족하면 \mathrm{P}=\mathrm{A}+\dfrac{m}{m+n}(\mathrm{B}-\mathrm{A}) 이고, 정리하면 내분 공식이 나온다. 즉 A 에서 B 쪽으로 전체 길이의 \dfrac{m}{m+n} 만큼 간 곳이 P 다. 그래서 가까운 쪽 점의 계수가 커진다. 1:3 내분에서 P 는 A 에 가까우므로 A 의 계수가 3 이다.

벡터 등식은 다음 네 단계로 계산한다. 먼저 점과 벡터를 좌표로 놓고, 구하려는 벡터를 성분으로 쓴다. 다음으로 같은 성분끼리 짝을 맞춰 식을 세우고, 마지막으로 구한 값을 조건에 대입해 검산한다. 간단한 수로 확인하면 \vec a=(1,2), \vec b=(3,-1) 일 때 \vec a+\vec b=(4,1) 이고 2\vec a-\vec b=(-1,5) 이다. 이 값들은 손으로 바로 확인할 수 있다.

좌표공간의 벡터는 성분이 (a_1,a_2,a_3) 세 개이고 덧셈과 실수배 규칙은 평면과 같다. 두 점 사이 거리는 \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} 이다. 같은 거리의 점은 거리의 제곱끼리 비교한다. 근호를 없앨 수 있어 계산이 짧아진다.