타원의 정의와 표준형

핵심 정리

평면 위의 두 점 \mathrm{F}, \mathrm{F}'까지 거리의 합이 일정한 점들의 자취를 타원이라 한다. 두 점은 초점이라 부르고, 거리의 합을 2a, 두 초점 사이 거리를 2c라 하면 a>c>0이다. 정의의 핵심은 두 초점까지 거리의 합 일정이다.

두 초점이 x축 위의 (\pm c,0)에 있으면 타원의 식은 다음과 같다.

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)

여기서 c²=a²−b²이다. 장축은 x축 위에 있고 길이가 2a, 단축은 길이가 2b이며, 두 초점은 장축 위에 있다. 초점이 y축 위에 있으면 분모의 자리가 바뀌어 \dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1이 된다.

타원 위의 점에서 두 초점까지 거리의 합은 장축의 길이와 같다. 이 관계는 단축 끝점 (0,b)와 초점이 만드는 직각삼각형으로 확인할 수 있다. 이 점은 두 초점에서 거리가 같고 합이 2a이므로 각각 단축 끝→초점 거리 a이다. 원점, 단축 끝, 초점 하나가 만드는 직각삼각형에서 빗변이 a이고 한 변이 b이므로 나머지 변이 c가 된다. 초점 거리는 큰 반지름과 작은 반지름으로 구한다.

중심이 (m,n)으로 옮겨지면 식은 \dfrac{(x-m)^2}{a^2}+\dfrac{(y-n)^2}{b^2}=1이고 초점은 (m\pm c,\,n)이다. 이심률 e=\dfrac{c}{a}는 0<e<1이며, 원이면 초점이 중심에 겹쳐 c=0이 된다.

원을 평면에 정사영하면 한 방향 길이만 cos θ배가 된 타원이 된다.

자세히

타원을 그리는 가장 간단한 방법은 실의 두 끝을 두 초점에 고정하고 연필로 실을 팽팽하게 당겨 한 바퀴 도는 것이다. 실의 길이는 2a이고 두 초점 사이 거리는 2c이므로, 실이 팽팽하게 남으려면 2a>2c여야 한다. 이 조건이 a>c를 준다. 두 초점이 한 점에 겹치면(c=0) 실은 반지름 a인 원을 그리므로 원은 타원의 특수한 경우다.

식이 나오는 과정은 거리 조건을 식으로 옮기는 것이다. 두 초점을 (\pm c,0), 점을 (x,y)로 두면 조건은 \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a이다. 한쪽 근호를 옮기고 두 번 제곱해 정리하면 (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)가 되고, b^2=a^2-c^2로 놓아 양변을 a^2b^2으로 나누면 표준형이 나온다. 이 과정에서 b는 장반지름과 초점 거리로 정해지는 값임을 알 수 있다. 타원의 넓이는 \pi ab이다.

간단한 수로 확인해 보자. \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1이면 a=5, b=3, c=4이고 초점은 (\pm4,0)이다. 단축 끝 (0,3)에서 초점 (4,0)까지 거리는 \sqrt{16+9}=5로 a와 같다. 장축 끝 (5,0)에서 두 초점까지 거리는 1과 9이고 합은 10=2a이다. 두 점에서 모두 거리의 합이 같으므로 c^2=a^2-b^2를 이용해 구한 초점의 위치를 확인할 수 있다.

비슷한 곡선과 비교하면 차이가 분명해진다. 쌍곡선은 두 초점까지 거리의 차가 일정하다. 포물선은 초점과 준선까지 거리가 같다. 세 곡선을 표로 정리하면 다음과 같다.

계산은 다음 순서로 진행한다. 첫째, 식을 분모가 있는 두 항의 합 꼴로 맞추고 두 분모 중 큰 것을 a^2으로 둔다. 둘째, 큰 분모가 붙은 변수 방향이 장축이다. 셋째, c^2=a^2-b^2으로 초점을 구한다. 넷째, 점이 타원 위에 있다는 조건은 식에 대입하고, 두 초점까지 거리를 묻는 조건은 합 2a로 바꾼다.

중심이 옮겨진 경우에는 두 초점의 중점이 곧 중심이다. 두 초점의 중점이 타원의 중심이다. 중점 좌표가 중심과 같아야 하므로 그 식에서 미지수 하나가 먼저 정해진다.

원을 평면에 정사영하면 식이 어떻게 바뀌는지도 알아 둔다. 교선과 나란한 방향의 길이는 그대로이고 그와 수직인 방향의 길이만 \cos\theta배로 줄어든다. 그래서 원 위 점의 좌표는 \dfrac{h_1^2}{r^2}+\dfrac{h_2^2}{r^2\cos^2\theta}=1 꼴의 타원 위에 있다.

대표 기출 풀이

① 포물선과 타원이 얽힌 삼각형 — 무엇을 묻는가 포물선 위 점과 준선 수선의 발, 그리고 세 점을 지나는 타원으로 만든 삼각형의 넓이와 둘레 조건에서 \overline{HF}^2의 값을 묻는다. (1) 포물선 y^2=4px 위의 점을 A(a,b)로 두면 준선 x=-p에 내린 수선의 발은 H(-p,b)이다. (2) 넓이 조건 \dfrac12(a+p)b=2p+12와 a=\dfrac{b^2}{4p}를 함께 풀면 (p,b)=(9,6)이다. 이때 A(1,6), H(-9,6)이다. 넓이는 30, 둘레는 36이므로 두 조건을 모두 만족한다. (3) 세 점 F(9,0), A, H를 지나는 타원은 중심이 (-4,0), 장반지름 13, 단반지름 \dfrac{13}{2}이다. 양의 초점은 B\approx(7.25,0)이다. (4) 둘레를 확인하면 \overline{AB}+\overline{BH}\approx8.66+17.32\approx26으로 p+27-\overline{HA}=36-10=26과 맞는다. (5) \overline{HF}^2=(2p)^2+b^2=18^2+6^2이므로 k^2=360이다.