정규분포와 표준화

핵심 정리

정규분포는 평균 m, 표준편차 \sigma 인 연속확률분포이며 \mathrm{N}(m,\sigma^2) 으로 나타낸다. 확률밀도함수의 그래프는 종 모양 곡선이고, 곡선과 x축 사이의 넓이는 1이다. 곡선은 x=m 에 대하여 좌우대칭이다. 연속확률변수는 한 점에서의 확률이 0이므로 확률은 항상 구간의 넓이로 구한다.

확률을 계산하는 핵심은 표준화다. X 에서 m 을 빼고 \sigma 로 나눈 Z=\dfrac{X-m}{\sigma} 는 표준정규분포 \mathrm{N}(0,1) 을 따른다. 그래서 X 의 확률은 표준화는 Z=(X−m)/σ 한 뒤 표준정규분포표에서 읽는다. 구간의 확률은 양 끝을 표준화하여 \mathrm{P}\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\le Z\le\dfrac{b-m}{\sigma}\right) 로 바꾼다.

표준정규분포표는 \mathrm{P}(0\le Z\le z) 의 값을 준다. 표에 없는 음수 쪽 확률은 음수 z 는 대칭으로 옮겨 \mathrm{P}(-z\le Z\le 0)=\mathrm{P}(0\le Z\le z) 로 쓴다.

표본평균도 같은 틀에 들어간다. 모집단이 \mathrm{N}(m,\sigma^2) 이면 크기 n 인 표본의 표본평균 \overline X 는 평균 m, 표준편차 \dfrac{\sigma}{\sqrt n} 인 정규분포를 따른다. 표본평균의 기댓값은 m 이고 표준오차는 \dfrac{\sigma}{\sqrt n} 이다.

자세히

표준화가 성립하는 이유부터 짚는다. 확률변수 X 에서 m 을 빼면 분포의 중심이 0으로 옮겨진다. 이어서 \sigma 로 나누면 흩어진 정도가 1로 맞춰진다. 두 연산은 확률의 값을 바꾸지 않으므로 사건 a\le X\le b 와 사건 \dfrac{a-m}{\sigma}\le Z\le\dfrac{b-m}{\sigma} 은 같은 사건이다. 평균과 표준편차가 서로 다른 정규분포도 표 하나로 계산할 수 있는 이유가 여기에 있다.

그래프의 뜻도 알아 두어야 한다. \sigma 가 커지면 곡선은 옆으로 넓게 퍼지고 가운데가 낮아진다. 곡선 아래 넓이는 1로 고정되어 있어서, 높이가 낮아지는 만큼 폭이 넓어지는 것이다. 반대로 m 은 곡선의 위치만 바꾼다. 평균이 m 인 곡선은 평균이 0인 곡선을 m 만큼 옮긴 모양이고, 모양이 같으므로 P(X≥m)=1/2 이 성립한다. 이 대칭성이 대부분의 대칭 문제에서 출발점이 된다.

두 정규분포를 비교할 때는 표준화를 먼저 하는 것이 원칙이다. 평균이 다르면 같은 x 에서의 밀도도 다르고, 표준편차가 다르면 같은 넓이를 가진 구간의 길이도 다르다. 각각 표준화하면 두 확률을 같은 z 축에서 비교할 수 있다. 표준정규분포의 밀도함수를 \varphi(z) 라 하면 \varphi 는 z=0 에서 최대이고 |z| 가 커질수록 감소한다. 그래서 같은 길이의 구간이라면 0 에 가까운 구간의 확률이 더 크다.

표본평균과 모집단을 나란히 놓으면 차이가 분명해진다.

표본 크기 n 이 커지면 표준오차 \dfrac{\sigma}{\sqrt n} 이 작아진다. 표본을 4배로 늘리면 표준오차는 σ/√n 이 절반이 되므로 신뢰구간의 길이도 짧아진다. 신뢰구간 문제에서는 1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n} 과 같은 곱이 구간의 반폭이 된다. 이 곱을 정확히 계산하는지가 풀이의 정확도를 결정한다.

계산 순서는 네 단계다. 첫째, 평균과 표준편차를 확인한다. 둘째, 구간의 양 끝을 표준화한다. 셋째, 음수 쪽 z 는 대칭으로 양수로 바꾼다. 넷째, 표의 값을 더하거나 뺀다. 예를 들어 평균이 10, 표준편차가 2 인 정규분포에서 \mathrm{P}(10\le X\le 12) 는 \mathrm{P}(0\le Z\le 1) 로 바뀌고, 표에서 z=1.0 일 때의 값 0.3413 을 읽으면 된다.

구간을 이어 붙이면 넓이가 더해지고, 큰 구간에서 작은 구간을 빼면 남은 구간의 넓이가 된다. 즉 \mathrm{P}(a\le Z\le c)=\mathrm{P}(a\le Z\le b)+\mathrm{P}(b\le Z\le c) 이다. 이 관계로 표에 직접 없는 구간도 두 값의 합이나 차로 바꿀 수 있다.