확률변수와 확률분포

핵심 정리

확률변수는 시행의 결과마다 실수 하나를 대응시키는 함수이다. 확률변수 X 가 값 x_i 를 가질 확률을 \mathrm{P}(X=x_i)=p_i 라 하고, 각 값과 그 값이 나올 확률을 대응시켜 나타낸 것을 확률분포라 한다. 이산확률변수에서는 각 p_i 가 0 이상이어야 하고, 모든 확률의 합은 1이다. 평균은 \mathrm{E}(X)=\sum x_i p_i 이다. 분산은 \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^2 로 계산하며, 이를 V(X)=E(X²)−{E(X)}² 꼴로 외운다. 상수 a, b 에 대해 \mathrm{E}(aX+b)=a\,\mathrm{E}(X)+b 이다. 분산에서는 V(aX+b)=a²V(X) 가 성립해 b 는 사라지고 a 는 제곱으로 들어간다. 같은 시행을 서로 독립으로 n 번 반복해 얻은 값의 평균을 \overline X 라 하면, V(X̄)=σ²/n이다. 한 번 시행의 분산 \sigma^2 을 횟수로 나눈 값이다. 이항분포 \mathrm{B}(n,p) 를 따르는 X 는 \mathrm{E}(X)=np 이고 V(X)=np(1-p) 이다. 연속확률변수는 확률을 밀도함수 f(x) 의 넓이로 정한다. f(x)\ge 0 이고 전체 넓이가 1이며, \mathrm{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx 이다. 한 점의 확률은 0이므로 구간의 등호 유무는 확률을 바꾸지 않는다. 구간 확률은 밀도함수 값이 아니라 넓이로 구한다.

자세히

평균은 각 값이 나올 확률을 반영한 가중평균이다. 이 식이 뜻하는 바를 살펴보자. 값 x_i 가 확률 p_i 의 비율로 나온다면, 같은 시행을 매우 많이 되풀이했을 때 결과의 평균은 각 값을 그 비율만큼 더한 것에 가까워진다. 이것이 \sum x_i p_i 의 뜻이다. 예를 들어 X 가 1과 2를 각각 \frac12 의 확률로 가지면 \mathrm{E}(X)=\frac32 이다. 두 값의 가운데가 평균이 되는 것은 확률이 같기 때문이고, 확률이 한쪽으로 치우치면 평균도 그쪽으로 옮겨 간다. 분산은 평균에서 떨어진 거리의 제곱을 평균한 값으로 정의한다. 평균을 m 이라 하면 \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}\big((X-m)^2\big) 이고, 괄호를 풀면 \mathrm{E}(X^2)-2m\,\mathrm{E}(X)+m^2 이 된다. 여기서 \mathrm{E}(X)=m 을 넣으면 \mathrm{E}(X^2)-m^2 이 남는다. 앞의 예에서 X^2 의 값은 1과 4이므로 \mathrm{E}(X^2)=\frac52 이고, \mathrm{V}(X)=\frac52-\frac94=\frac14 이다. 편차는 \pm\frac12 이고 그 제곱은 모두 \frac14 이므로 정의로 계산한 값과 같다. aX+b 의 변환은 값 전체를 a 배로 늘리고 b 만큼 옮기는 것이다. 모든 값을 같은 만큼 옮기면 평균은 변하지만 값들이 평균에서 떨어진 정도는 그대로이므로 b 는 분산에 들어가지 않는다. 흩어짐이 a 배가 되면 표준편차는 |a| 배, 분산은 제곱인 a^2 배가 된다. 앞의 예에서 2X 의 값은 2와 4이고 분산은 4\cdot\frac14=1 이다. 그래서 \mathrm{V}(aX+b) 를 a\mathrm{V}(X)+b 로 쓰면 안 된다. 독립인 시행을 반복한 값들의 평균에서는 분산이 어떻게 달라지는지 살핀다. 서로 영향을 주지 않는 n 번의 값을 더한 합의 분산은 n\sigma^2 이다. 평균은 그 합을 n 으로 나눈 것이므로 분산은 \frac{1}{n^2} 배가 되어 \frac{\sigma^2}{n} 이 된다. 시행 횟수가 많을수록 표본평균이 덜 흩어진다는 뜻이다. 평균과 분산을 함께 구할 때는 다음 순서로 계산한다. 먼저 확률의 합이나 넓이의 합 조건으로 미지수를 정하고, 다음으로 평균과 \mathrm{E}(X^2)를 차례로 구한다. 마지막으로 분산을 계산하고 선형변환의 성질을 적용한다. 이 순서를 지키면 같은 식을 두 번 쓰지 않는다. 두 분포를 나란히 놓으면 다음과 같다.