여사건으로 '적어도' 확률 구하기

핵심 정리

사건 A 의 여사건은 A 가 일어나지 않는 사건이며 A^{C} 로 쓴다. 전체 사건을 U 라 하면 A 와 A^{C} 는 서로소이고 두 사건을 합하면 U 가 되므로 다음 식이 성립한다.

P(A^{C})=1-P(A)

확률의 전체 합이 1이라는 사실에서 나온 식이다. P(A)+P(A^{C})=P(U)=1 이므로 P(A) 를 직접 세기 어려우면 P(A^{C}) 를 세어 1에서 뺀다. 계산은 여사건 확률은 1에서 뺀다 한 줄이면 충분하다.

‘적어도 한 개’가 들어간 확률은 여사건으로 구한다. 적어도라는 낱말은 여사건을 먼저 떠올리게 하는 신호다. 교집합이 섞인 사건도 같은 방식으로 나눈다. 사건 A 는 B 와 B^{C} 의 두 부분으로 갈라지고, 두 부분이 겹치지 않으면 확률을 그대로 더한다. 그래서 P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{C}) 이다.

자세히

여사건이 유용한 이유는 세야 할 경우의 수를 줄이기 때문이다. '적어도 한 개' 꼴의 사건은 한 개, 두 개, 세 개처럼 여러 경우로 나뉜다. 각 경우를 따로 세어 더하면 항목이 늘고, 하나라도 빠지거나 겹치기 쉽다. 반면 '하나도 나오지 않는다'는 여사건은 보통 한 가지 경우로 정해져 세기 쉽다. 여사건은 경우를 한 가지로 줄여 준다.

간단한 수로 확인해 보자. 동전 3 개를 동시에 던질 때 적어도 한 개가 앞면일 확률은 전체 2^{3}=8 가지에서 뒷면만 나오는 1 가지를 뺀 것이므로 1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8} 이다. 같은 값을 앞면이 1개인 3 가지, 2개인 3 가지, 3개인 1 가지를 더해 3+3+1=7 로 얻을 수도 있으나, 여사건 쪽은 한 번의 뺄셈으로 끝난다. 두 방법의 답이 같으므로 여사건 계산을 검산하는 데에도 쓸 수 있다. 여기서 분모는 전체 경우 수로 둔다 는 점도 함께 기억해야 한다.

여사건을 고를 때 기준은 문장의 조건어다. '적어도', '이상', '하나라도' 같은 말이 붙으면 여사건을 먼저 검토한다. 반대로 '정확히 k 번' 꼴은 직접 세는 것이 보통 자연스럽다. 조건어만으로 정하기 어려우면 전체 경우 수와 여사건 경우 수를 가늠해 보고, 여사건의 경우 수가 한 가지 꼴로 정리되는 쪽을 고른다.

여사건은 전체 집합에서 일부를 빼는 계산과 같은 틀이다. 전체 원소의 수에서 어떤 집합의 원소 수를 빼면 나머지 집합의 원소 수가 나온다. 학생 수를 세는 자료 문항에서 체험 학습 A 를 고른 학생을 전체에서 빼 B 를 고른 학생을 구하는 계산이 이 틀에 속한다. 이때 확률은 그 나머지 원소 수를 전체 원소 수로 나눈 값이다.

두 사건의 교집합으로 A 를 나누는 식은 두 부분이 서로소이므로 조건 없이 성립한다. 겹치는 부분이 있으면 더할 때 같은 원소를 두 번 세므로 식이 틀린다. 따라서 겹치는 사건은 따로 더하지 않는다 는 원칙을 먼저 확인해야 한다. 교집합 두 값이 주어지면 A 의 확률이 바로 나온다.

두 확률의 차가 일정한 값이 되는 사건은 순서쌍을 하나씩 나열한다. 각 순서쌍이 서로 겹치지 않으므로 분자를 더하고, 분모는 두 시행의 경우의 수 곱으로 맞춘다. 앞면이 뒷면보다 많다는 조건을 앞면이 4번 이상이라는 조건으로 바꾸는 것이 첫 단계이고, 그 뒤 분수를 기약분수로 고쳐 분자와 분모를 읽는다.

계산 순서를 정리하면 다음과 같다. 먼저 조건어를 읽고 여사건인지 판단한다. 다음으로 전체 경우의 수를 세고, 여사건에 해당하는 경우의 수를 한 가지 꼴로 센다. 마지막으로 1에서 빼거나 분자를 확률로 바꾼다. 여사건과 직접 세기가 섞인 문항도 이 순서를 따르면 된다.