이항정리: 일반항과 계수 구하기

핵심 정리

n 이 자연수일 때 (a+b)^n 은 a^{n-r}b^{r} 꼴 항들의 합으로 전개된다. 이를 이항정리라 하며 식으로는 (a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} 과 같다. 여기서 r+1 번째 항 \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} 을 일반항이라 부르고, \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!} 은 n 개에서 r 개를 고르는 경우의 수다.

이 식이 성립하는 까닭은 (a+b) 를 n 번 곱하는 데 있다. 각 인수에서 a 나 b 를 하나씩 골라 곱하고 그 결과를 모두 더하면 전개식이 된다. b 를 정확히 r 번 고르는 방법은 n 개 인수 가운데 b 를 고를 r 개를 정하는 방법과 같으므로 \binom{n}{r} 가지다. 그 각각이 a^{n-r}b^{r} 을 만들므로 이 항의 계수는 \binom{n}{r} 이다. 각 항에서 a 의 지수와 b 의 지수를 더하면 지수의 합은 항상 n이다.

계수 문제의 핵심은 일반항에서 원하는 차수를 만드는 지수 조건을 식으로 세우는 데 있다. a=b=1 을 넣으면 (1+1)^n=2^n 이므로 계수들의 합은 2의 n제곱이다.

자세히

일반항을 세우는 순서를 보자. (x+2)^7 에서 a 를 x, b 를 2 로 놓으면 일반항은 \binom{7}{r}x^{r}2^{7-r} 이다. x 의 지수가 r 이므로 x^5 의 계수는 r=5 를 넣은 \binom{7}{5}2^{2} 이다. 계산하면 \binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21 이고 2^{2}=4 이므로 계수는 21\cdot4=84 다. 이 계산은 x^5 의 계수를 묻는 문항과 같은 꼴이다.

\binom{7}{5} 을 \binom{7}{2} 로 바꿔 계산하면 편한데, 이는 \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r} 이 성립하기 때문이다. n 개 가운데 r 개를 고르는 것은 나머지 n-r 개를 남기는 것과 같은 경우의 수이므로 이 성질이 나온다.

계수를 구하는 순서는 네 단계다. 먼저 일반항을 쓰고, 다음으로 구하는 차수에 맞춰 x 의 지수 식을 세운다. 그 식을 풀어 항의 번호 r 을 찾고, 마지막으로 그 번호를 일반항에 넣어 상수 거듭제곱과 조합 기호를 곱한다. 이 중 지수 식을 세워 항의 번호를 찾는 단계가 가장 중요하다. 지수가 3k 나 5-3k 처럼 복잡해도 이 순서를 따르면 틀리지 않는다.

세 꼴은 지수 조건만 다르고 계산 순서는 같다. 음수 지수가 섞인 세 번째 꼴에서도 x 의 지수 5-3k 는 k 가 하나 커질 때마다 3 씩 작아지므로 원하는 차수를 만드는 k 가 하나로 정해진다. 부호도 주의해야 한다. (a-b)^n 은 b 자리에 -b 를 넣은 것과 같아서 r 번째 항에 (-1)^{r} 이 곱해진다. 예를 들어 (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1 이고, x^2 항은 r=1 이므로 계수는 \binom{3}{1}(-1)^{1}=-3 이다.

이항계수는 순열과 비교하면 이해가 쉽다. \binom{n}{r} 은 고른 순서를 세지 않는다. 순열 {}_nP_r 은 순서를 세므로 {}_nP_r=r!\binom{n}{r} 이다. 예를 들어 \binom{4}{2}=6 이고 {}_4P_2=12 는 그 두 배다. 또 (1+x)^2=1+2x+x^2 의 계수 1,\,2,\,1 은 \binom{2}{0},\binom{2}{1},\binom{2}{2} 와 같고 합은 4=2^2 이다.