정적분의 활용: 넓이·부피·길이

핵심 정리

정적분을 활용하면 도형의 넓이·부피·길이를 구할 수 있다. 무엇을 구하느냐에 따라 적분할 식을 다르게 세운다. 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 f(x)\ge0일 때, 곡선 y=f(x)와 x축, 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이 S는 S=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx 이다. 구간을 잘게 나눈 직사각형들의 넓이를 더하고 그 폭을 한없이 줄이면 정적분을 얻으므로 이 식이 성립한다.곡선 아래 넓이는 그 구간의 정적분과 같다. 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이는 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 값을 적분한다. 두 곡선의 위아래가 바뀌는 곳은 교점이므로 교점의 x좌표로 구간을 나누고, 각 구간마다 위쪽과 아래쪽을 확인한다. 식으로는 \int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx 로 쓰며, 위치가 바뀌지 않는 구간에서는 절댓값을 떼고 위끝에서 아래끝을 뺀다. 교점에서 구간을 나누어 위아래를 확인한다. 부피는 단면으로 계산한다. x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 부피는 V=\displaystyle\int_a^b S(x)\,dx 이다. 단면이 한 변의 길이가 y=f(x)인 정사각형이면 단면적은 한 변 길이의 제곱이므로 S(x)=\{f(x)\}^2 이다. 단면적을 구간에서 적분하면 부피가 된다.단면적을 구간에서 적분하면 부피가 된다. 길이는 곡선 y=f(x)의 구간 a\le x\le b에서 L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx 이다. 넓이·부피와 달리 도함수 f'(x)를 먼저 구해야 한다. 기출 문항 가운데 길이를 직접 묻는 문항은 없다. 계산은 다음 순서로 진행한다. 그래프로 교점과 위아래를 확인하고, 피적분함수를 세운 뒤 원시함수에서 F(b)-F(a)를 계산한다.

자세히

넓이 공식이 나오는 과정부터 보면, 구간 [a,b]를 폭 \Delta x인 가는 조각으로 나눈다. 조각 하나는 밑변이 \Delta x, 높이가 f(x)인 직사각형에 가까우므로 넓이는 대략 f(x)\Delta x이다. 조각을 한없이 잘게 나누어 모두 더하면 그 극한이 정적분이고, 그것이 곧 곡선 아래 넓이다. 이 설명에서 피적분함수는 직사각형의 높이에, dx는 밑변의 폭에 해당한다. 곡선이 x축 아래에 있으면 f(x)<0이므로 정적분 값이 음수로 나온다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로 그 부분은 부호를 바꾸거나 절댓값을 씌워야 한다. 그래서 넓이는 음수가 아니다는 조건이 항상 따라붙는다. 두 곡선 사이에서는 높이가 f(x)-g(x)이다. 예를 들어 y=x와 y=x^2을 0\le x\le 1에서 보면 이 구간에서 x\ge x^2이므로 넓이는 \int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16이다. 같은 구간에서 두 곡선의 위아래가 바뀌지 않았는지 먼저 확인하는 것이 순서다. 위치가 바뀌면 교점마다 구간을 끊고, 각 구간에서 따로 위끝에서 아래끝을 뺀다. 그래프를 간단히 그려 보면 이 판단이 빨라진다. 부피의 원리는 넓이와 같다. 얇은 판 하나는 단면적 S(x)에 두께 \Delta x를 곱한 부피 S(x)\Delta x를 가진다. 이를 구간 전체에서 더한 극한이 \int S(x)\,dx이다. 예를 들어 0\le x\le 1에서 단면이 x축에 수직인 정사각형이고 한 변이 y=x이면, 단면적은 x^2이고 부피는 \int_0^1 x^2\,dx=\frac13이다. 한 변을 y로 잡는 것까지는 쉽지만, 단면적을 y로 그대로 놓으면 틀린다. 넓이는 y^2이어야 한다. 길이 공식은 작은 구간의 곡선을 선분으로 보고 피타고라스 정리로 얻는다. 가로 \Delta x, 세로 \Delta y\approx f'(x)\Delta x인 직각삼각형의 빗변이 \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,\Delta x이고, 이를 합하면 \int\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx가 된다. 제곱근 안에 도함수의 제곱이 들어가므로, 길이 공식을 쓰기 전에 f'(x)를 구해 제곱을 먼저 정리하는 편이 낫다. 넓이·부피·길이를 구할 때 적분할 식을 비교하면 다음과 같다.