여러 가지 미분법

핵심 정리

합성함수의 미분법은 y=f(g(x)) 꼴에서 x 의 변화율을 안쪽과 바깥쪽 변화율의 곱으로 구하는 방법이다. 식은 \dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))\,g'(x) 이다. 바깥 함수의 도함수를 안쪽 함수의 값에서 계산하고, 안쪽 함수의 도함수를 곱한다. 이것은 u=g(x) 로 놓고 \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} 를 쓴 것과 같은 뜻이다.

역함수의 미분법은 y=f(x) 가 일대일대응이고 미분가능하며 f'(x)\neq 0 일 때 \{f^{-1}\}'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))} 이 성립한다는 것이다. 역함수 위 점의 기울기는 대응하는 원함수 점 기울기의 역수다. 역함수가 있으려면 함수가 일대일대응이어야 하므로 단조성을 먼저 확인한다.

매개변수로 나타낸 곡선은 x=f(t),\ y=g(t) 에서 \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} 로 구한다. 분모인 dx/dt 가 0 이면 기울기를 나눗셈으로 쓸 수 없다. 음함수 F(x,y)=0 꼴은 y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한다. 이때 y 항마다 y' 를 곱한다. 그 뒤 식을 y' 에 대해 풀면 된다.

자세히

합성함수의 식이 곱으로 나오는 까닭은 변화를 따라가 보면 알 수 있다. x 가 아주 작게 \Delta x 만큼 바뀌면 안쪽 함수 g 의 값은 대략 g'(x)\Delta x 만큼 바뀐다. 그 변화가 다시 f 의 입력이 되어 f 의 값은 대략 f'(g(x)) 배로 반응한다. 두 단계의 배율을 곱한 것이 전체 배율이므로 f'(g(x))\,g'(x) 가 된다. 이 설명은 엄밀한 증명은 아니지만 어느 도함수를 어느 점에서 계산하는지를 정하는 데는 충분하다. 간단한 수로 확인해 보자. y=(x^2+1)^3 에서 안쪽은 g(x)=x^2+1, 바깥은 f(u)=u^3 이다. x=1 이면 g(1)=2, g'(1)=2, f'(2)=12 이므로 y'=12\cdot 2=24 이다. 식을 전개해 y=x^6+3x^4+3x^2+1 로 미분해도 x=1 에서 6+12+6=24 로 같다.

역함수의 미분법은 그래프의 대칭으로 이해하면 쉽다. y=f^{-1}(x) 의 그래프는 y=f(x) 의 그래프를 직선 y=x 에 대하여 뒤집은 것이다. 원래 그래프의 점 (a,b) 에서 기울기가 m 이면, 뒤집힌 그래프의 점 (b,a) 에서 기울기는 \dfrac{1}{m} 이다. 그래서 역함수의 기울기는 대응하는 점에서 원함수 기울기를 찾아 역수를 취한다. 기울기가 0 이면 뒤집은 기울기는 세로가 되어 역수를 취할 수 없으므로 f'(x)\neq 0 조건이 붙는다. f(x)=x^3 을 예로 들면 f(2)=8, f'(2)=12 이므로 \{f^{-1}\}'(8)=\dfrac{1}{12} 이다. 같은 값은 f^{-1}(x)=x^{1/3} 을 직접 미분해 \dfrac{1}{3}x^{-2/3} 에 x=8 을 넣어도 \dfrac{1}{12} 로 나온다.

매개변수 표시는 x 와 y 를 직접 잇는 식을 쓰기 어려울 때 쓴다. 예를 들어 x=t^2,\ y=t^3 에서 t 를 없애면 y^2=x^3 이 되어 식이 번거롭다. 그러나 \dfrac{dx}{dt}=2t, \dfrac{dy}{dt}=3t^2 를 나누면 t\neq 0 에서 \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2} 를 바로 얻는다. 이때 dx/dt 가 0 이 아닌 점에서만 이 나눗셈이 가능하다는 점을 잊으면 안 된다. 음함수 미분은 y=f(x) 로 풀기 어려운 곡선에 쓴다. 두 방법은 상황이 다를 뿐 같은 곡선의 기울기를 준다. 같은 곡선을 두 방법으로 풀어 값이 맞는지 확인하면 계산 실수를 찾기 쉽다.

표의 네 꼴은 모두 \dfrac{dy}{dx} 를 구하는 것이다. 차이는 x 와 y 가 어떤 꼴로 주어졌는가에 있다. 문제를 받으면 먼저 꼴을 확인하고 표의 식을 고르는 것이 첫 단계다. 계산 순서는 대개 세 단계다. 꼴을 확인하고, 필요한 도함수를 구하고, 점의 좌표를 대입해 값을 정리한다. 세 번째 단계에서 점의 좌표가 주어졌는지 먼저 보면 식을 줄이기 쉽다.

대표 기출 풀이

최근 문항 둘과 배점 4점 문항 하나를 골라 푼다.

① 매개변수 곡선 위 점의 접선 기울기 구하기

직선과 만나는 곡선 위 점에서의 접선 기울기를 묻는다.