지수·로그·삼각함수의 극한과 미분

핵심 정리

\dfrac00 꼴은 부정형이라 하며, 식을 기본 극한의 꼴로 고쳐서 푼다. 기본 극한은 네 개만 외우면 된다. \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1, \lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1, \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1 이다. 첫째 식과 \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos0=1 을 이용하면 둘째 식이 나온다. 이 식들은 x 자리에 6x 같은 식이 들어가도 그대로 쓴다.

안쪽이 두 배, 세 배 된 식은 분모와 같은 꼴로 맞추면 값이 1 이고, 맞추지 않으면 그 배수가 극한값에 곱해진다.

분자와 분모가 모두 0 으로 가면 차수 맞추기가 핵심이다. 두 식의 차수가 같으면 비가 상수로 남고, 그 상수가 답이 된다.

미분계수는 f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 로 정의되며, 이 극한도 \dfrac00 꼴이다. 그래서 미분의 계산에도 같은 도구가 쓰인다. 자주 쓰는 도함수는 (e^{x})'=e^{x}, (\ln x)'=\dfrac1x, (\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x, (a^{x})'=a^{x}\ln a 이다. 여기서 a>0 이다.

a^{x} 은 밑 a 가 1 보다 크면 증가하고, 0<a<1 이면 감소한다. 밑이 1 보다 작으면 지수가 커질수록 함숫값은 줄어든다. 닫힌구간에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 가진다. 최댓값은 끝점과 극값 가운데 가장 큰 값이고, 최솟값은 그 가운데 가장 작은 값이다.

자세히

극한이 \dfrac00 꼴인지는 먼저 대입해 본다. 분자와 분모가 모두 0 으로 가면 부정형이다. 분모가 0 으로 가지 않으면 대입해서 값을 구하면 된다. 부정형이면 분자와 분모에서 0 으로 가는 부분을 찾아 같은 차수의 식으로 바꾼다. 이 바꾸기를 근사라고 하는데, 여기서 근사는 두 식의 값이 비슷하다는 뜻이 아니다. 근사는 두 식의 비가 1 로 간다는 뜻이다. 예를 들어 \ln(1+3x) 와 3x 는 x 가 0 에 가까워질수록 비가 1 에 가까워진다. 그러므로 곱이나 나눗셈 안에서는 \ln(1+3x) 를 3x 로 바꿔도 극한값이 변하지 않는다.

이 사실은 분수를 두 조각으로 나누어 보면 확인된다. 분수 \dfrac fg 를 \dfrac fu\cdot\dfrac ug 로 쓰면, u 가 g 와 같은 차수일 때 \dfrac ug 가 1 로 가므로 전체의 극한은 \dfrac fu 의 극한과 같아진다. 곱의 극한은 각 극한의 곱이라는 성질이 이 논리의 근거다. 실제 계산에서 u 는 분자나 분모를 근사하는 식으로 고른다.

계산 순서는 네 단계다. 첫째, 0 으로 가는지 확인한다. 둘째, 분자와 분모에서 0 으로 가는 인수를 찾는다. 셋째, 그 인수를 근사식으로 바꾼다. 넷째, 남은 상수를 계산한다. 예를 들어 \dfrac{\sin2x}{5x}=\dfrac{\sin2x}{2x}\cdot\dfrac25 이므로 극한은 \dfrac25 이다.

그래서 합·차는 묶어서 곱으로 만든 뒤 근사한다. 합이나 차 안의 항을 떼어 따로 근사하면 같은 차수 항이 상쇄되어 틀릴 수 있다. e^{4x}-e^{2x} 같은 식은 먼저 e^{2x}(e^{2x}-1) 로 묶고, 묶인 인수를 근사한다.

미분계수도 같은 방식으로 계산된다. f(x)=\sin x 의 x=0 에서 미분계수는 \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1 이다. 기본 극한의 값 1 이 곧 \sin x 의 x=0 에서 기울기가 1 이라는 뜻이다. 이처럼 기본 극한은 미분과 극한을 잇는 다리 역할을 한다.

1-\cos x=2\sin^{2}\dfrac x2 이므로 첫째 기본 극한에서 \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12 이 나온다. 따라서 1-\cos x 는 \dfrac{x^{2}}2 와 같은 차수다. 이를 x 와 같은 차수로 잡으면 넓이 같은 식의 차수가 달라진다.

지수나 로그가 최댓값 문제와 엮이면 그래프의 증가·감소를 먼저 본다. 로그 \ln x 는 증가 함수이고, 지수 a^{x} 는 밑에 따라 증가하거나 감소한다. 연속인 단조 함수라면 최댓값은 증가할 때 오른쪽 끝, 감소할 때 왼쪽 끝에서 얻는다. 이 판단이 맞으면 계산은 끝점의 값 하나를 구하는 일로 줄어든다.

분자에 항이 둘 이상이면 x\to0 에서 차수가 낮은 항이 우선이다. x^{2}+5x 에서 5x 가 x^{2} 보다 크므로 분자는 5x 와 같은 차수로 보면 된다. 그러면 \dfrac{x^{2}+5x}{\ln(1+3x)} 는 \dfrac{x^{2}+5x}{3x}=\dfrac{x+5}{3} 로 정리되어 극한이 \dfrac53 이다.